Die lineare Abbildung \( f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) sei definiert durch
\( f\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right):=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{c} x_{1}-3 x_{2}+x_{3} \\ -3 x_{1}+x_{2}+3 x_{3} \\ 2 x_{3} \end{array}\right) . \)
Weiter sei \( \mathcal{E}=\left(e^{1}, e^{2}, e^{3}\right) \) die kanonische Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) und \( \mathcal{B} \) die Basis des \( \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch
\( \mathcal{B}=\left(\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 0 \end{array}\right)\right) . \)
Berechnen Sie die Matrix \( \mathrm{M}_{\mathcal{E}}^{\mathcal{E}}(f) \) von \( f \) zur Basis \( \mathcal{E} \), die Matrix des Basiswechels \( \mathrm{M}_{\mathcal{E}}^{\mathcal{B}} \) (id) von \( \mathcal{B} \) nach \( \mathcal{E} \) sowie die Matrix \( \mathrm{M}_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f) \) von \( f \) zur Basis \( \mathcal{B} \).
