Differentialgleichung Uni Mathe

Question

Aufgabe:

Die Konzentration u eines Medikaments in der Blutbahn eines Menschen hängt
von der Zeit t ab und lässt sich sehr gut durch die Differentialgleichung
u´(t) = −k · u(t)
beschreiben. Dabei ist k die vom Medikament abhängige positive Aufnahmekonstante.
a.) Berechnen Sie für ein Medikament mit der Konstanten k = 0, 05/Std. die
Konzentration u(t) des Medikaments nach sechsmaliger und nach dreißigmaliger Einnahme, wenn zu Beginn der Behandlung, d.h. zum Zeitpunkt
t = 0, eine Anfangsdosis u0 = 1000 mg eingenommen wird und dann immer
im Abstand von T = 8Std. das Medikament in der Dosierung u0 verabreicht
wird.
b.) Welche Konzentration wird erreicht, wenn das Medikament sehr lange eingenommen wird?
c.) Wie muss das Medikament dosiert werden, wenn ein vorgegebener Serumspiegel uc erreicht werden muss? Worin liegt der Nachteil bei dieser Art von
Dosierung? Wie kann man das vermeiden?


Problem/Ansatz:

Ich habe echt keine Ahnung wie ich ansetzen soll. Einfache Differentialgleichung kriege ich hin, aber hier komme ich langsam an meinen Grenzen

Answer 1

Hallo Jenny,

Einfache Differentialgleichung kriege ich hin

Dann weißt Du auch die Lösung von $u'(t)=-k u(t)$. Das ist$$u(t) = u_0e^{-kt} \quad k = 0,05\,\text h^{-1}\\ u(t) = u_0e^{-0,05\,\text h^{-1} \cdot t}$$

.. aber hier komme ich langsam an meinen Grenzen

das hängt vielleicht auch damit zusammen, dass die Aufgabe ungenau gestellt ist. Im ersten Teil ist $u$ die Konzentration im Blut und später wird aus $u_0$ die Einnahmedosis des Medikaments in Milligramm. Aber sehen wir da mal großzügig drüber hinweg und rechnen zunächst nur mit $u_0$. Weiter gehe ich im folgenden davon aus, dass mit jeder Medikamenteneinnahme die Dosis sprunghaft um $u_0$ ansteigt.

nach Einnahme der ersten Dosis ist $u(t=0)$$$u_1(t=0\,\text h) = u_0$$8 Stunden später wird daraus$$u_1(t=8\,\text h) = u_0e^{-0,05\,\text h^{-1} \cdot 8\,\text h} = u_0e^{-0,4}$$Mit der zweiten Einnahme des Medikaments steigt $u$ um $u_0$ an. Wir lassen die Zeit danach wieder bei $t=0$ beginnen$$u_2(t = 0) = u_0e^{-0,4} + u_0 = u_0\left( e^{-0,4} + 1\right)$$Das ist unsere neue Startkonzentration und der weitere Verlauf hält sich wieder an unsere gefunde Lösung der DGL; also$$u_2(t) = u_0\left( e^{-0,4} + 1\right) e^{-0,05\,\text h^{-1} \cdot t}$$und 8 Stunden später wird daraus$$u_2(8\,\text h) = u_0\left( e^{-0,4} + 1\right)e^{-0,4}$$Jetzt das dritte mal das Medikament schlucken$$u_3(t=0) = u_0\left( e^{-0,4} + 1\right)e^{-0,4} + u_0 = u_0\left( \left( e^{-0,4} + 1\right)e^{-0,4} + 1\right)$$und im weiteren Verlauf ist$$u_3(t) = u_0\left( \left( e^{-0,4} + 1\right)e^{-0,4} + 1\right) e^{-0,05\,\text h^{-1} \cdot t} \\ \implies u_4 = u_0\left(\left( \left( e^{-0,4} + 1\right)e^{-0,4} + 1\right) e^{-0,4} + 1\right)$$Ich setze $e^{-0,4} = q$ und das Muster die Konzentration nach der $n$'ten Einnahme des Medikaments ist$$u_n = u_0 \sum_{i=0}^{n-1} q^{i} = u_0 \frac{1-q^n}{1-q}$$(siehe geometrische Reihe) Damit solltest Du nun die Aufgabenteile a) und b) leicht lösen können. Falls nicht, bitte wieder melden.

Wie muss das Medikament dosiert werden, wenn ein vorgegebener Serumspiegel u_c erreicht werden muss?

Hier ist die Dosierung $u_0$ unbekannt und man setzt (für $n \to \infty$)$$u_c = u_0 \frac{1}{1-q} \implies u_0 = (1-q) u_c \approx 0,330 u_c$$

Worin liegt der Nachteil bei dieser Art von Dosierung?

Zu Anfang ist in diesem Fall die Medikamentenkonzentration zu niedrig.

Wie kann man das vermeiden?

Indem man mit einer höheren Dosis $u_c$ beginnt, die man ab der zweiten Einnahme auf das neu berechnete $u_0$ reduziert.

Comments

Hat mich echt weiter geholfen! Ich hätte noch ein Paar fragen. Ist es normal das u₁ (8) ein kleinerer Wert ist als u₀? Gibt es eine Möglichkeit direkt die Konzentration des Medikaments nach sechsmaliger und nach dreißigmaliger Einnahme zu berechnen? Was soll bei b) sehr lange bedeuten?

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Ist es normal das u₁(8) ein kleinerer Wert ist als u₀?

$u_0$ ist der Wert um den die Konzentration mit jeder Medikamenteneinnahme ansteigt. $u_1(8\,\text h)$ ist die Konzentration $8\,\text h$ nach der ersten Medikamenteneinnahme. Und die muss zwangsläufig kleiner sein.

Gibt es eine Möglichkeit direkt die Konzentration des Medikaments nach sechsmaliger und nach dreißigmaliger Einnahme zu berechnen?

Upps(!) die Frage hatte ich als beantwortet angesehen (s. meine Antwort). Du brauchst nur die Werte $n=6$ und $n=30$ einzusetzen:$$u_6 = u_0 \frac{1-q^6}{1-q} \approx 2,76 u_0 \\ u_{30} = u_0 \frac{1-q^{30}}{1-q} \approx 3,03u_0$$

Was soll bei b) sehr lange bedeuten?

Wenn das Medikament sehr lange genommen wird, wird unser $n$ immer größer. Da $q \lt 1$ ist, wird der Ausdruck $q^n$ immer kleiner. Z.B. ist $q^{30} \approx 6,1\cdot 10^{-6}$. D.h. man kann annehmen, dass $n$ gegen unendlich läuft und der Term für $u_n$ wird dann$$\lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty}u_0 \frac{1-q^n}{1-q} = u_0\frac{1}{1-q}$$Bei 3 Medikamenteneinnahmen pro Tag bist Du nach 10 Tagen schon bei $n=30$ und wenn man sich den Wert für $n=6$ anschaut (nach 2 Tagen) so ist dann bereits ca $90\%$ der Endsättigung von $\approx 3,03 u_0$ erreicht.

Und nach 4 Tagen ($n=12$) ist man bei ca $99\%$. Also heißt in diesem konkreten Fall 'sehr lange' 4 Tage oder mehr. Oder allgemein heißt 'sehr lange' lange genug, so dass sich der Wert der Konzentration nicht mehr signifikant von dem Wert bei $n \to \infty$ unterscheidet.

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Woher weiß ich wie viel % der Endsättigung erreicht ist?

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Aus Deinen Fragen schließe ich, dass Du mindestens Teile meiner Antwort nicht verstanden hast.

Woher weiß ich wie viel % der Endsättigung erreicht ist?

Die Endsättigung ist die Sättigung (bzw. Konzentration), die eintritt, wenn $n \to \infty$ geht. $q^n$ ist dann $q^n=0$. Also $$u_{\text{end}} = u_0 \frac 1{1-q} \approx 3,03 u_0$$bei irgend einem anderen Wert - z.B. $u_6$ - ist die Konzentration$$u_6 = u_0 \frac{1-q^6}{1-q} \approx 2,76 u_0$$Zur Berechnung des prozentualen Anteils zu $u_{\text{end}}$ teilst Du ihn durch eben diesen. Das entspricht also einem prozentualen Anteil $p_6$ zu $u_{\text{end}}$ von$$p_6 = \frac{u_6}{u_{\text{end}}} \approx \frac{2,76 u_0}{3,03 u_0} \approx 0,91 = 91\%$$

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Allgemein gilt$$p_n = \frac{u_0 \frac{1-q^n}{1-q}}{u_0 \frac{1}{1-q}} = 1 - q^n$$