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ich komme beim letzten Teil meiner Aufgabe nicht weiter ( Bild sollte im Anhang sein).

die Formel zur Berechnung von n konnte ich bereits aufstellen und so auch fn(0) und fn(87) problemlos berechnen.


fn= 440⋅2^x mit x = (n-48) / 12

Nun fehlt mir allerdings der Beweis (letzte Satz in der Aufgabenstellung) und ich weiß nicht, wie genau ich es angehen soll.

Lösungswege und Vorschläge sind gerne gesehen.

Danke






Mathe.jpg

Text erkannt:

Bei dieser Aufgabe formulieren Sie Ihre Argumentation bitte in aussagekräftigen kurzen Sätzen.
Die Tasten einer Klaviatur seien mit \( n \in\{0,1, \ldots, 87\} \) indiziert. Die in dieser Zählung 48 te Taste erzeugt in der Standardstimmung einen Ton der Frequenz \( f_{48}=440 \mathrm{~Hz} \). Außerdem wissen Sie, dass eine Oktave, also ein Tonintervall von 12 Tönen, einer Verdopplung der Frequenz entspricht. Es gilt also \( f_{k+12}=2 f_{k} \)
Stellen Sie eine explizite Formel für die Frequenzen \( f_{n} \) auf.
Bestimmen Sie die Frequenzen des tiefsten Tons \( f_{0} \) und des höchsten Tons \( f_{87} \).
Beweisen Sie, dass die Beziehung \( f_{n}^{2}=f_{n-k} f_{n+k} \) für alle zulässigen \( n \) und \( k \) gilt.

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\( n \in\{0,1, \ldots, 87\} \)

\( f_{48}=440 \mathrm{~Hz} \)

\( f_{k+12}=2 f_{k} \)

\( f_{n}^{2}=f_{n-k} f_{n+k} \)


\( f_{0}=440/2^4 \mathrm{~Hz} \)

\( f_{0}=440/16 \mathrm{~Hz} \)

\( f_{0}=27,5 \mathrm{~Hz} \)


\( f_{n}=27,5*2^\frac{n}{12} \mathrm{~Hz} \)


\( f_{87}=27,5*2^\frac{87}{12} \mathrm{~Hz} \)

\( f_{87}≈4186 \mathrm{~Hz} \)


\( f_{n}^{2}=f_{n-k} f_{n+k} \)
\( f_{n}^{2}=27,5*2^\frac{n-k}{12} *27,5*2^\frac{n+k}{12} \mathrm{~Hz} \)
\( f_{n}^{2}=27,5^2*2^\frac{2n}{12} \mathrm{~Hz} \)
\( f_{n}^{2}=(27,5*2^\frac{n}{12})^2 \mathrm{~Hz} \)
\( f_{n}=(27,5*2^\frac{n}{12}) \mathrm{~Hz} \)

Avatar von 11 k
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Zunächst musst du x = (n-48)/12 in f(n)= 440⋅2x einsetzen:

f(n)= 440⋅2(n-48) /12=55·2(n-1)/12

Dann ist f(n-k)·f(n+k)=3025·2(n-12)/6 und f(n)2=3025·2(n-12)/6.

Avatar von 123 k 🚀

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