Komplexe Zahl: Kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten

Question

Aufgabe:

Schreiben Sie z = \( \frac{1+\sqrt{3}i}{1-\sqrt{3}i} \) in Polarkoordinaten und berechnen Sie z²⁰¹

Problem/Ansatz:

Wenn ich das ganze mit 1-\( \sqrt{3} \)i erweitere und das Ganze ausrechne erhalte ich:

z = -\( \frac{1}{\sqrt{3}i} \)

Das ist soweit mein Ansatz, keine Ahnung ob der richtig ist/man was damit anfangen kann.

Answer 1

Hallo,

erweitere konjugiert komplex, damit die Wurzel im Nenner verschwindet:

also * (1+√3 i)/(1+√3 i)

=-1/2 + (√3/2) *i

Bilde dann den Betrag , der ist 1 und den Winkel

tan(φ)= Imaginärteil/Realteil = (√3/2)/ (-1/2) = -√3

φ =(2 π)/3

->

z = (1 *e^(i(2π))/3) ^201 = (e^(i(2π))/3)^201 =e^(i*24120°) =e^(0°)= 1

(24120°-((360*67)°))=0