Eigenschaften einer orthogonalen Matrix zeigen.

Question

Aufgabe:Gegeben sei die Matrix$$A = \begin{pmatrix}2/3& -2/3& 1/3\\ -2/3& -1/3& 2/3\\ 1/3& 2/3& 2/3\end{pmatrix}$$

Zeigen Sie:
a) A ist orthogonal.

b) Es gibt einen Vektor v ∈ ℝ³
, v ≠ 0 mit der Eigenschaft, dass A·v = −v.

c) A·u = u für alle u ∈ ℝ3 mit ⟨u,v⟩ = 0. Dabei ist ⟨·, ·⟩ das kanonische Skalarprodukt im ℝ³
d) A^-1 = A

Könnte mir jemand bei den Aufgaben bitte helfen?

Comments

Hallo,

wie ist definiert "A ist orthogonal"?

Gru0ß MathePeter

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Hallo, wie genau meinst du definiert?

LG Blackwolf

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Gegeben sei die Matrix

      2/3      - 2/3      1/3
A=  - 2/3        1/3      2/3
      1/3        2/3      2/3

Schau bitte nochmal in die Aufgabenstellung. Dieses $A$ ist nicht orthogonal!. Steht da vielleicht:$$A = \frac 13\begin{pmatrix}2& {\colorbox{yellow}2}& 1\\ -2& 1& 2\\ 1& {\colorbox{yellow}{-2}}& 2\end{pmatrix}$$??

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Achso, danke für den Hinweis hatte ein minus vergessen.

          2/3   - 2/3   1/3

A =    - 2/3   - 1/3   2/3

          1/3     2/3   2/3

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Bei Aufgabenteil c) fehlt noch die Angabe was mit $v$ passieren soll, oder ist $v$ gesucht oder ist es das $v$ aus Teil b)?

Und bei d) müsste es heißen $A^{-1} =A^T$ - oder?

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Bei c) steht nix weiter, also denke ich das das v aus b) gemeint ist. Und d) ist richtig in der Aufgabenstellung.

Answer 1

Du hast da wohl ein Vorzeichen falsch.

Versuche es mal mit

      2/3      - 2/3      1/3
A=    2/3        1/3      -2/3
      1/3        2/3      2/3

und berechne A * A^T .

Answer 2

Hallo Blackwolf,

Zeigen Sie: a) A ist orthogonal.

Wenn Du bei Wikipedia die Definition einer orthogonalen Matrix nachliest, dann steht da, dass eine Matrix $A$ orthogonal ist, wenn $$A^T \cdot A = \underline 1$$ist. Das kannst Du leicht selbst nachrechnen.

Wahrscheinlich sollts Du zeigen dass die Spaltenvektoren die Länge 1 haben (normal sind) und senkrecht auf einander stehen. Auch dies zeichnet eine Orthogonal-Matrix aus. Falls Du dazu Fragen hast, so melde Dich bitte.

b) Es gibt einen Vektor v ∈ ℝ3, v ≠ 0 mit der Eigenschaft, dass A·v = −v.

Das bedeutet nichts anderes, als dass die Matrix $A$ einen Eigenwert $-1$ besitzen muss. Prüfe dazu, ob die charakteristische Gleichung der Matrix $A$$$-\lambda^3 + \lambda^2 + \lambda - 1 = 0$$eine Lösung mit $\lambda = -1$ besitzt. Dies ist der Fall. Der zugehörige Eigenvektor ist $$e_1 = \begin{pmatrix}-1\\ -2\\ 1\end{pmatrix} = v$$

c) A·u = u für alle u ∈ ℝ3 mit ⟨u,v⟩ = 0. Dabei ist ⟨·, ·⟩ das kanonische Skalarprodukt im ℝ3

Die nächsten beiden Eigenwerte $\lambda_2$ und $\lambda_3$ sind $\lambda_2=\lambda_3=1$. Die zugehörigen Eigenvektoren sind $$e_2 = \begin{pmatrix}1\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \quad e_3 = \begin{pmatrix}-1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$$Es gilt also$$A \cdot k e_{2,3} = k e_{2,3}, \quad k \in \mathbb R$$Die drei Eigenvektoren stehen senkrecht auf einander. Wenn also $\left< u,v\right> = 0$ heißt das, dass $$u = a\cdot e_2 + b \cdot e_3$$sich $u$ aus einer Linearkombination von $e_2$ und $e_3$ zusammen setzt. Multipliziere das von links mit $A$$$\begin{aligned} A u &= A(ae_2 + be_3) \\&= A (ae_2) + A(be_3) \\&= ae_2 + be_3 \\&= u\end{aligned}$$

d) A^-1 = A

ich hatte zuerst übersehen, dass $A$ symmetrisch ist. Es gilt hier also $A=A^T$. Und da für alle orthogonalen Matrizen $A^{-1} = A^T$ gilt, gilt hier auch $A^{-1}=A$.

Gruß Werner

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Dankeschön

LG Blackwolf