Lineare Unabhängigkeit beweisen von orthogonalen Vektoren

Question

Wie lässt sich folgendes beweisen:

Sei V ein euklidischer Vektorraum mit einem Skalarprodukt ⟨·, ·⟩. Seien v, w ∈ V mit v = 0 und w ≠ 0.

Zeigen Sie: wenn v und w orthogonal zueinander bezüglich ⟨·, ·⟩ sind, sind sie auch linear unabhängig.

Hinweis: Es handelt sich um ein beliebiges Skalarprodukt und nicht das Standardskalarprodukt.

Orthogonal bedeutet ja soviel wie, dass sie senkrecht auf einander stehen. Sind sie deshalb linear unabhängig, also so rein von der Logik her? Aber wie schreibt man das jetzt am besten formal auf?

Hätte jemand einen Vorschlag? ! :)

Answer 1

Hallo

wenn sie orthogonal zueinander sind ist ihr Skalarprodukt 0, also hat v keine Komponente in w Richtung, also kann r*v+s*w=0 nur mit r=s=0 gelöst werden.

oder Widerspruchsbeweis; angenommen  r*v+s*w=0 mit r, s≠0

multipliziere skalar mit v dann folgt r*|v|^2=0 entgegen v≠0 entsprechen bei multiplizieren mit u

Gruß lul