Beweis von Ungleichungen

Question

Text erkannt:

- Beweisen Sie, dass die Ungleichung
$$ \log (x) \leq x-1 $$
für alle \( x \in \mathbb{R}_{>0} \) gilt. Schließen Sie daraus, dass die Ungleichung
$$ \log (x) \leq n\left(x^{1 / n}-1\right) $$
für alle \( x \in \mathbb{R}_{>0} \) und \( n \in \mathbb{N} \) gilt.
- Es sei \( p>1 \). Zeigen Sie, dass
$$ x^{p}+y^{p} \leq(x+y)^{p} \leq 2^{p-1}\left(x^{p}+y^{p}\right) $$
für alle \( x, y \geq 0 \) gilt.

Comments

Wie wärs, wenn du für die erste die Ungleichung erstmal als Äquivalenzumformung mit e hoch nimmst und dann die Reihendarstellung Exponentialfunktion verwendest. Wäre meine erste Idee ansonsten hattet ihr bestimmt schon Ungleichung für die Exponentialfunktion.