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Aufgabe

Ich soll bei das Frobenius Skalarprodukt beweisen, dass <A, B> = Spur(A^T B) gilt. Hat jemand eine Lösung dafür?

von

Sollst Du die angegebene Formel beweisen - dann wäre die Frage: Wie ist das Forbenius-Skalarprodukt definiert?

Oder sollst Du beweisen, dass es sich tatsächlich um ein Skalarprodukt handelt?

Gruß

Das ist die Definition, ich soll also nur beweisen, dass es tatsächlich um ein Skalarprodukt handelt

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Hallo Rosita,

gehe die Definitionen von 'Skalarprodukt' Schritt für Schritt durch. Zerleg vorher noch die beiden Matrizen in ihre Spaltenvektoren. Es sei $$A = \begin{pmatrix} a_1& a_2& \dots& a_n\end{pmatrix}, \quad a_k \in \mathbb R^n\\ B = \begin{pmatrix} b_1& b_2& \dots& b_n\end{pmatrix}, \quad b_k \in \mathbb R^n$$Ist \(C = A^T \cdot B\), so ist ein Element \(c_{k,k} \in \mathbb R\) der Hauptdiagonale von C$$c_{k,k} = a_k^T \cdot b_k$$und die Spur $$\begin{aligned}\text{spur}(C) &= \sum_{k=1}^n c_{k,k} \\ \text{spur}(A^T \cdot B) &= \sum_{k=1}^n a_k^T \cdot b_k\end{aligned}$$und damit ist eigentlich schon alles gezeigt. Man kann es aber auch im Detail durchgehen. Von:

$$\left< A + Z,\, B\right> = \left< A,\, B\right> + \left< Z,\, B\right>$$

$$\sum_{k=1}^n \left( a_k^T + z_k^T\right) \cdot b_k = \sum_{k=1}^n a_k^T \cdot b_k + \sum_{k=1}^n z_k^T \cdot b_k \space \checkmark$$

Über

$$\left< A ,\, B + Z\right> = \left< A,\, B\right> + \left< A,\, Z\right>\\ \left< \lambda A ,\, B\right> = \lambda \left< A,\, B\right> \\ \left< A ,\, \lambda B\right> = \lambda \left< A,\, B\right>\\ \left< A ,\, B\right> = \left< B,\, A\right> \\ \left< A,\, A\right> \ge 0$$

Bis

$$ \left< A,\, A\right> = 0 \quad \text{für} \space A = \underline 0$$

Das ist trivial, Hier gilt für alle \(a_k = \vec 0\) und \(a_k^T \cdot a_k = 0\). Falls Du trotzdem noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Gruß Werner

von 36 k

perfekt! vielen dank, hat mir sehr geholfen!

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