Welcher Funktionsterm gehört zu dem gesuchten Funktionsgraphen?

Question

Aufgabe:

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades habe einen Sattelpunkt an
der Stelle x0 = 0, einen Hochpunkt bei H(−1 | 8), sowie eine Nullstelle bei x1 = 1.
Welcher Funktionsterm gehört zu dem gesuchten Funktionsgraphen?

Problem/Ansatz:

mit Erklärung

Answer 1

Hallo,

Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades

kann man schreiben als

$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$

Die Ableitungen sind dann

$f'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d\\ f''(x)=12ax^2+6bx+2c$

Sattelpunkt an der Stelle x0 = 0

$\Rightarrow f'(x)=0 \quad \text{und }\quad f''(x)=0$

$\Rightarrow d=0 \quad \text{und}\quad c=0$

Also bleibt noch

$f(x)=ax^4+bx^3+e\\ f'(x)=4ax^3+3bx^2\\ f''(x)=12ax^2+6bx\\$

Wir brauchen noch drei Informationen für die drei Variablen.

Hochpunkt bei H(−1 | 8)

das heißt $f(-1)=8\quad \text{und}\quad f'(-1)=0$

Nullstelle bei x1 = 1

$f(1)=0$

Löse das sich hieraus ergebene Gleichungssystem.

Gruß, Silvia