Aufgabe:
Für die folgende Aufgabe sei Perm \( (X):=\{f: X \rightarrow X \mid f \) ist bijektiv \( \} \) die Menge der bijektiven Abbildungen auf \( X, \) die zusammen mit der Komposition o als Verknüpfung das Gruppoid \( \mathbb{P}(X) \) bildet.
Es seien \( X_{1}, X_{2} \) endliche Mengen und \( \mathbb{G}=\mathbb{P}\left(X_{1}\right) \times \mathbb{P}\left(X_{2}\right) \) das Produktgruppoid. Bezeichnen wir mit \( \square \) die Operation von \( \mathbb{G} \). Weiter sei \( \mathbb{H}=(H, \square) \) ein Untergruppoid mit \( H \neq \emptyset \) von \( \mathbb{G} \). Wir bezeichnen mit \( \pi_{i}\left(\left(g_{1}, g_{2}\right)\right):=g_{i}, i=1,2 \) die Projektionen, also z.B. \( \pi_{1}: \operatorname{Perm}\left(X_{1}\right) \times \operatorname{Perm}\left(X_{2}\right) \rightarrow \operatorname{Perm}\left(X_{1}\right) . \)
Definiere die Relationen \( \sim_{1} \) auf \( \operatorname{Perm}\left(X_{1}\right) \) und \( \sim_{2} \) auf \( \operatorname{Perm}\left(X_{2}\right) \) durch
\(f_{1} \sim_{1} f_{1}^{\prime}: \Leftrightarrow\left(f_{1} \circ\left(f_{1}^{\prime}\right)^{-1}, \Delta_{X_{2}}\right) \in H\) für \( f_{1}, f_{1}^{\prime} \in \operatorname{Perm}\left(X_{1}\right) \)
und analog
\(f_{2} \sim_{2} f_{2}^{\prime}: \Leftrightarrow\left(\Delta_{X_{1}}, f_{2} \circ\left(f_{2}^{\prime}\right)^{-1}\right) \in H\) für \( f_{2}, f_{2}^{\prime} \in \operatorname{Perm}\left(X_{2}\right) \)
1. Bestimmen Sie für \( X_{1}=X_{2}=\{0,1\} \) die Verknüpfungstafel des Produktgruppoids und alle Untergruppoide mit genau zwei Elementen. Wählen Sie weiter eines dieser zweielementigen Untergruppoide und bestimmen Sie die Relationen \( \sim_{1} \) und \( \sim_{2} \) für dieses!
2. Zeigen Sie, dass \( \sim_{1} \) und \( \sim_{2} \) Kongruenzrelationen auf \( \pi_{1}(H) \) und \( \pi_{2}(H) \) sind!
3. Zeigen Sie, dass die Menge \( R:=\left\{\left(\left[h_{1}\right]_{\sim_{1}},\left[h_{2}\right]_{\sim_{2}}\right) \mid\left(h_{1}, h_{2}\right) \in H\right\}\) die Relationenauffassung eines Isomorphismus zwischen \( \pi_{1}(H) / \sim_{1} \) und \( \pi_{2}(H) / \sim_{2} \) ist!
Problem/Ansatz:
1. Meine Verknüpfungstafel des Produktgruppoids sieht ungefähr wie folgt aus:
\(\cdot\) | 0 | 1
0 | 0 | 0
1 | 0 | 1
Als zweielementige Untergruppoide hätte ich \(U={(0\cdot0),(1\cdot1),(0\cdot1)} \) angegeben.
Mir fehlt für die weitere Bearbeitung der Aufgaben das konkrete Verständnis für das Aussehen der Relationen. Ich wäre euch sehr dankbar, wenn ihr mir vielleicht mit einem Ansatz weiterhelfen könntet.
