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Text erkannt:

Bilden Sie die Umkehrfunktion von
\( f \) und bestimmen Sie anschließend
\( a \) so, dass beide Funktionen \( f \) und \( f^{-1} \) durch den

Koordinatenursprung verlaufen.
\( f(x)=\frac{-a x+4 x-a-3}{-3 a x-2 x-3 a-1} \)
\( f^{-1}(x)= \)
\( a= \)

Aufgabe:

Könnt ihr mir bitte erklären, wie ich diese Aufgabe lösen kann?


Danke

von

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Aloha :)

$$\left.y=\frac{-ax+4x-a-3}{-3ax-2x-3a-1}\quad\right|\text{Mit \((-1)\) erweitern, sonst zu fummelig.}$$$$\left.y=\frac{ax-4x+a+3}{3ax+2x+3a+1}\quad\right|\cdot(3ax+2x+3a+1)$$$$\left.y(3ax+2x+3a+1)=ax-4x+a+3\quad\right|\text{links und rechts \(x\) ausklammern}$$$$\left.yx(3a+2)+y(3a+1)=(a-4)x+a+3\quad\right|-(a-4)x$$$$\left.yx(3a+2)-(a-4)x+y(3a+1)=a+3\quad\right|-y(3a+1)$$$$\left.yx(3a+2)-(a-4)x=a+3-y(3a+1)\quad\right|\text{\(x\) links ausklammern}$$$$\left.x\cdot\left(y(3a+2)-(a-4)\right)=a+3-y(3a+1)\quad\right|:\,\left(y(3a+2)-(a-4)\right)$$$$\left.x=\frac{(a+3)-y(3a+1)}{y(3a+2)-(a-4)}\quad\right.$$Also können wir die Umkehrfunktion wie folgt angeben:$$f^{-1}(x)=\frac{(a+3)-x(3a+1)}{x(3a+2)-(a-4)}$$

Damit beide Funktionen durch den Urpsrung gehen, muss gelten:

$$0\stackrel!=f(0)=\frac{-a-3}{-3a-1}\implies -a-3=0\implies a=-3$$$$0\stackrel!=f^{-1}(0)=\frac{a+3}{-(a-4)}\implies a+3=0\implies a=-3$$Für \(a=-3\) gehen beide Funktionen durch den Urpsrung.

von 76 k 🚀

Denke sehr!!!!

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ausklammern:

x(4-a)-a-3

x(-3a-2)-3a-1

Substituiere zum Rechnen; b=4-a, c=-a-3,d= -3a-2,f= -3a-1

Vertausche x und y und löse nach y auf.

von 60 k 🚀

Checke ich nicht!

Erkläre es bitte Schritt für Schritt

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Die zweite Teilaufgabe ist ein Witz, weil man sie lösen kann, ohne vorher die Umkehrtfunktion zu bilden.

von 29 k

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