Funktionsuntersuchung Mit Parametern

Question

Aufgabe:Gegeben sei die Kurvenschar mit  fa(x)= - x³+ 3 a x (a ∈ R)

d) Ermitteln Sie die lokalen Extremstellen von f. (Fallunterscheidung ) und bestimmen Sie die Kurve der Schar sowie deren Funktionsgleichung, die den Hochpunkt H( 1/2) besitzt.

e) Begründen Sie, wie viele Wendepunkte die Funktionen der Schar fa maximal besitzen können. Ermitteln Sie diese inkl, ihres Krümmungsverhaltens in Abhängigkeit von a.

f) Zeichnen Sie die Graphen von f, inkl, allen Informationen für a = -1, +1/3, + 1 in dasselbe Koordinatensystem und markieren Sie daran jeweils alle Ergebnisse aus a)-e)

Answer 1

Hallo und herzlich willkommen in der Mathelounge,

$f(x)=-x^3+3ax\\f'(x)=-3x^2+3a\\ f''(x)=-6x$

d) Ermitteln Sie die lokalen Extremstellen von f. (Fallunterscheidung ) und bestimmen Sie die Kurve der Schar sowie deren Funktionsgleichung, die den Hochpunkt H( 1/2) besitzt.

Setze die 1. Ableitung = 0 und löse nach x in Abhängigkeit von a auf. Überlege dann, für welche Ergebnisse die 2. Ableitung größer oder kleiner null ist, um sagen zu können, ob es sich um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

Setze die Koordinaten des Hochpunkts in f(x) ein und löse nach a auf. Prüfe dann, ob mit diesem a die Voraussetzungen für einen Hochpunkt erfüllt sind.

e) Begründen Sie, wie viele Wendepunkte die Funktionen der Schar fa maximal besitzen können. Ermitteln Sie diese inkl, ihres Krümmungsverhaltens in Abhängigkeit von a.

Welche Form hat der Graph der 2. Ableitung und wie viele Nullstellen kann er maximal haben?

Gruß, Silvia

Comments

Ich habe bei der d) als HP ( wurzel a/2a wurzel a) und als TP habe ich (-wurzel a/ -2a wurzel a) und habe eben gerade so wie Sie es beschrieben haben, den HP (1/2) in f(x) eingesetzt und komme für a=1 raus. Das stimmt auch überein wenn ich in HP und TP als a=1 einsetzte. Vielen Dank!

Bei der e weiß ich, dass Funktionen dritten Grades nur eine Wendestelle haben, da hierbei die f''(x) eine lineare Funktion ist. Ich war mit bei dieser Aufgabe nicht sicher, da ich hier kein a hatte, aber darf ich hier theoretisch die a=1 benutzen oder muss ich mit dem Parameter weiterarbeiten?

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f''(x) = -6x

Der Parameter ist nicht mehr da, also kannst du auch nicht mehr mit ihm arbeiten. Damit gibt es tatsächlich nur einen Wendepunkt in (0 | 0).

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Okay, vielen Dank nochmals

Answer 2

Aufgabe:Gegeben sei die Kurvenschar mit fa(x)= - x³+ 3 a x (a ∈ R)

d) Ermitteln Sie die lokalen Extremstellen von f. (Fallunterscheidung ) und bestimmen Sie die Kurve der Schar sowie deren Funktionsgleichung, die den Hochpunkt H( 1/2) besitzt.

f ( x ) = - x³ + 3 a x
1.Ableitung
f ´( x ) = -3x² + 3a
Stellen mit waagerechter Tangente
-3 * x² + 3a = 0
x = ± √ a
a >= 0
2.Ableitung
f ´´ ( x )  = -6 * x
Extrempunkt + √ a
f ´´ ( + √ a ) = - 6 * + √ a ist negativ ( Hocpunkt )

H ( 1 .| 2 )

f ( 1 ) = - 1³ + 3 a * 1  = 2
-1 + 3a = 2
3a = 3
a = 1

f (x ) = - x³ + 3 * x

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Dankeschön, ich habe diesen Schritt verstanden!