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Aufgabe:

Berechnen Sie für x > 1 das Integral

∫ Im Intervall 1 bis x 1/t dt


mithilfe der Definition des Riemann-Integrals


Kann mir einer bitte zeigen wie ich das berechnen soll?

von

Sollst du zeigen, dass \(\int_1^x \frac{1}{t}\ dt=\ln(x)\) gilt?

Hallo, Ja genau. Ich weiß, dass da ln(x) rauskommen soll, aber nicht wie ich die Definition von Riemann darauf anwenden soll für x>1

1 Antwort

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Du musst dir zunächst eine passende Zerlegung des Intervalls \([1,x]\) wählen und dann damit die Riemannsumme ausrechnen. Äquidistante Zerlegung würde ich aber nicht empfehlen zu machen. Das ginge zwar auch (theoretisch) ist aber rechentechnisch noch sehr viel schwieriger. Wurde euch dafür eine Zerlegung vorgeschlagen?

von 10 k

Ob Zerlegung oder Ober- und Untersumme ist egal. Da wurde nichts empfohlen.

Wie oft soll ich das zerlegen? Da n ja unbestimmt ist?

Nein, dein \(n\) ist prinzipiell nur die Zahl der Unterteilungen deines Intervalls \([1,x]\).

Ob Zerlegung oder Ober- und Untersumme ist egal.

Vorsicht! Zerlegung ist hier erstmal nur ein Begriff, der dir sagt, wie du dein Intervall in \(n\) Stücke unterteilst. Du hast also \(n+1\) Stützstellen der Form \(t_0,t_1,...,t_n\in [1,x]\) mit \(\underbrace{1=t_0<t_1<...<t_n=x}_{\text{Zerlegung} \mathcal{Z_n}}\).

Die Ober -und Untersumme ist die Riemannsumme von Treppenfunktionen für die zu integrierende Funktion. Dabei werden die Treppenfunktionen durch deine Zerlegung $$\mathcal{Z}_n: 1=t_0<t_1<...<t_n=x$$ beschrieben. Du näherst also deine Funktion durch zwei Treppenfunktionen von unten und von oben an. Davon berechnest du dann jeweils die Riemannsumme. Die Riemannsumme ist sogar von der Art der Zerlegung des Intervalls unabhängig (wegen gemeinsame Verfeinerung).

Äquidistante Zerlegung (also hier \(t_k=1+k\cdot \frac{x-1}{n}, k=0,1,...,n\)) ist oft eine beliebte Herangehensweise, da sich so Riemannsummen am einfachsten berechnen lassen. Hier ist die aber wie schon erwähnt sehr ungeeignet. Wähle doch mal stattdessen folgende Zerlegung: \(t_k=x^{\frac{k}{n}}\) für \(k=0,1,...,n\),also $$\mathcal{Z}_n: 1=x^{\frac{0}{n}}=1<t_1=x^{\frac{1}{n}}<...<t_n=x^{\frac{n}{n}}=x$$

das war sehr hilfreich danke:)

aber wie soll ich weitermachen für integral 1/t

Du sollst nun \(\frac{1}{t}\) über die Zerlegung \(\mathcal{Z}_n: 1=x^{\frac{0}{n}}=1<t_1=x^{\frac{1}{n}}<...<t_n=x^{\frac{n}{n}}=x\)

jeweils von oben und von unten durch eine Treppenfunktion approximieren. Dann berechnest du zu beiden Treppenfunktionen die Riemannsumme.

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