0 Daumen
1,4k Aufrufe

Aufgabe:

Berechnen Sie für x > 1 das Integral

∫ Im Intervall 1 bis x 1/t dt


mithilfe der Definition des Riemann-Integrals


Kann mir einer bitte zeigen wie ich das berechnen soll?

Avatar von

Sollst du zeigen, dass 1x1t dt=ln(x)\int_1^x \frac{1}{t}\ dt=\ln(x) gilt?

Hallo, Ja genau. Ich weiß, dass da ln(x) rauskommen soll, aber nicht wie ich die Definition von Riemann darauf anwenden soll für x>1

1 Antwort

0 Daumen

Du musst dir zunächst eine passende Zerlegung des Intervalls [1,x][1,x] wählen und dann damit die Riemannsumme ausrechnen. Äquidistante Zerlegung würde ich aber nicht empfehlen zu machen. Das ginge zwar auch (theoretisch) ist aber rechentechnisch noch sehr viel schwieriger. Wurde euch dafür eine Zerlegung vorgeschlagen?

Avatar von 15 k

Ob Zerlegung oder Ober- und Untersumme ist egal. Da wurde nichts empfohlen.

Wie oft soll ich das zerlegen? Da n ja unbestimmt ist?

Nein, dein nn ist prinzipiell nur die Zahl der Unterteilungen deines Intervalls [1,x][1,x].

Ob Zerlegung oder Ober- und Untersumme ist egal.

Vorsicht! Zerlegung ist hier erstmal nur ein Begriff, der dir sagt, wie du dein Intervall in nn Stücke unterteilst. Du hast also n+1n+1 Stützstellen der Form t0,t1,...,tn[1,x]t_0,t_1,...,t_n\in [1,x] mit 1=t0<t1<...<tn=xZerlegungZn\underbrace{1=t_0<t_1<...<t_n=x}_{\text{Zerlegung} \mathcal{Z_n}}.

Die Ober -und Untersumme ist die Riemannsumme von Treppenfunktionen für die zu integrierende Funktion. Dabei werden die Treppenfunktionen durch deine Zerlegung Zn : 1=t0<t1<...<tn=x\mathcal{Z}_n: 1=t_0<t_1<...<t_n=x beschrieben. Du näherst also deine Funktion durch zwei Treppenfunktionen von unten und von oben an. Davon berechnest du dann jeweils die Riemannsumme. Die Riemannsumme ist sogar von der Art der Zerlegung des Intervalls unabhängig (wegen gemeinsame Verfeinerung).

Äquidistante Zerlegung (also hier tk=1+kx1n,k=0,1,...,nt_k=1+k\cdot \frac{x-1}{n}, k=0,1,...,n) ist oft eine beliebte Herangehensweise, da sich so Riemannsummen am einfachsten berechnen lassen. Hier ist die aber wie schon erwähnt sehr ungeeignet. Wähle doch mal stattdessen folgende Zerlegung: tk=xknt_k=x^{\frac{k}{n}} für k=0,1,...,nk=0,1,...,n,also Zn : 1=x0n=1<t1=x1n<...<tn=xnn=x\mathcal{Z}_n: 1=x^{\frac{0}{n}}=1<t_1=x^{\frac{1}{n}}<...<t_n=x^{\frac{n}{n}}=x

das war sehr hilfreich danke:)

aber wie soll ich weitermachen für integral 1/t

Du sollst nun 1t\frac{1}{t} über die Zerlegung Zn : 1=x0n=1<t1=x1n<...<tn=xnn=x\mathcal{Z}_n: 1=x^{\frac{0}{n}}=1<t_1=x^{\frac{1}{n}}<...<t_n=x^{\frac{n}{n}}=x

jeweils von oben und von unten durch eine Treppenfunktion approximieren. Dann berechnest du zu beiden Treppenfunktionen die Riemannsumme.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage