Zeigen Sie: \operatorname{Kern}(\varphi) ist das von 4-\sqrt{5} erzeugte Hauptideal.

Question

Hallo ich habe Probleme bei dieser Aufgabe, vielleicht hat jemand von euch einen Ansatz und kann mir helfen.

(b) Zeigen Sie: $\operatorname{Kern}(\varphi)$ ist das von $4-\sqrt{5}$ erzeugte Hauptideal.
Hinweis: Zeigen Sie, dass jedes Element in $\operatorname{Kern}(\varphi)$ von $4-\sqrt{5}$ geteilt wird.

Die Abbildung lautet:
$\varphi: \mathbb{Z}[\sqrt{5}] \rightarrow \mathbb{F}_{11}, \quad a+b \sqrt{5} \longmapsto \overline{a+4 b}$
a und b sind Element {Z}

Liebe Grüße

Comments

Und $\varphi$ möchtest du nicht angeben?

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Ah tut mir leid ich bearbeite eben meine Frage. Vielen Dank für den Hinweis. :)

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Du solltest erstmal zeige, dass $\varphi$ ein Ringhomomorphismus ist, also dass

$$\varphi(1) = \overline 1 \\ \varphi( (a+b\sqrt5) + (c+d\sqrt 5)) = \varphi( a + b\sqrt 5) + \varphi( c + d \sqrt 5) \\ \varphi( (a+b\sqrt5) \cdot (c+d\sqrt 5)) = \varphi( a + b\sqrt 5) \cdot \varphi( c + d \sqrt 5)$$

Danach ist die Aussage gar nicht mehr so schwierig. zz. $\ker \varphi = \langle 4 - \sqrt 5 \rangle$.

Zu "$\supseteq$" :Für $x \in \langle 4 - \sqrt 5 \rangle$, etwa $x = r \cdot (4-\sqrt 5)$ mit $r \in \mathbb Z[\sqrt 5]$, dann ist $$\varphi(x) = \varphi(r \cdot (4-\sqrt 5)) = \varphi(r) \cdot \varphi(4 - \sqrt 5)$$

Es reicht also hierfür nachzurechnen, dass $\varphi(4 - \sqrt 5) = 0$.

Zu "$\subseteq$": Sei $a + b\sqrt 5 \in \ker \varphi$, dann ist $\varphi(a+b \sqrt 5) = \overline{a+4b} = \overline 0$, das heißt $a+4b \equiv 0 \mod (11)$ bzw. dass $a+4b$ durch $11$ teilbar ist.

Der Hinweis gibt dir den Ansatz schon vor: Du sollst zeigen, dass $a + b \sqrt 5$ durch $4 - \sqrt 5$ teilbar ist, du suchst also ein $c + d \sqrt 5 \in \mathbb Z[\sqrt 5]$ s.d. $$a + b\sqrt 5= (4-\sqrt 5)(c + d\sqrt 5) = (4c - 5d) + (-c + 4d)\sqrt 5$$

Vergleich der Koeffizienten liefert $a = 4c-5d$ und $b = -c + 4d$. Das ist ein LGS mit 2 Gleichungen und 2 Variablen. Zeige, dass es eine ganzzahlige Lösung hat. Dafür brauchst du $11 | a + 4b$.