Zeige, dass Folge monoton ist

Question

Aufgabe:

Sei \( f:[a, b] \rightarrow[a, b] \) monoton wachsend und stetig. Für ein vorgegebenes \( x_{0} \in[a, b] \) sei die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) rekursiv definiert durch \( x_{n}=f\left(x_{n-1}\right) \) für \( n \in \mathbb{N} . \) Zeigen Sie:
Die Folge \( \left(x_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) ist monoton. (Hinweis: Fallunterscheidung)

Problem/Ansatz:

Mein Problem beginnt halt schon, die Rekursivformel zu verstehen, ich kann wirklich nichts damit anfangen...

Answer 1

Für das Verständnis der

Rekursion kann ich helfen:

Nimm z.B. die Funktion mit f(x)= x^2 auf dem Intervall [0;1].

Und wähle ein xo z.B. xo = 0,2.

Dann ist x1 = f(0,2) = 0,04 .

Und dann x2 = f(0,04) = 0,0016  etc.

Es scheint eine monoton fallende Folge zu entstehen.

Wenn du es mit f(x) = 1 - (x-1)^2 + 1 machst

gibt es x1  = f(0,2 ) =  0,36

x2 = 0,5904    etc. Das ist dann wohl der

Fall "monoton wachsende Folge".

Comments

Danke, aber ich verstehe bei meinem Beispiel nicht, was xo ist

---

Das kann man sich einfach aus dem Intervall aussuchen.

---

Also könnte man sich z.b ein ein x element aus dem Intervall nehmen?

---

Ja, so ist es wohl gedacht: Egal welches man nimmt,

die Folge wird immer monoton.

---

Vielen dank, habe es jetzt verstanden.