Bilde die erste Ableitung von f(x)= -1/2 x · e-1/8x²

Question

Aufgabe:

Bilde die erste Ableitung von f(x)= -1/2 x · e^-1/8x² 

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du die Produktregel und die Kettenregel:$$f'(x)=\left(\underbrace{-\frac{1}{2}x}_{=u}\cdot \underbrace{e^{-\frac{1}{8}x^2}}_{=v}\right)'=\underbrace{-\frac{1}{2}}_{=u'}\cdot\underbrace{ e^{-\frac{1}{8}x^2}}_{=v}+\underbrace{\left(-\frac{1}{2}x\right)}_{=u}\cdot\underbrace{\left(\overbrace{e^{-\frac{1}{8}x^2}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{\left(-\frac{1}{4}x\right)}^{=\text{innere}}\right)}_{v'}$$$$\phantom{f'(x)}=-\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{8}x^2}+\frac{1}{8}x^2\,e^{-\frac{1}{8}x^2}=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{8}x^2}\left(\frac{1}{4}x^2-1\right)=\frac{1}{8}e^{-\frac{1}{8}x^2}\left(x^2-4\right)$$

Comments

ok danke, eine Frage noch, woher kommt jetzt die -1 in der Klammer ?

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Die \(-1\) kommt vom Ausklammern:

$$-\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{8}x^2}+\frac{1}{8}x^2\,e^{-\frac{1}{8}x^2}=-1\cdot\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{8}x^2}+\frac{1}{4}x^2\cdot\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{8}x^2}$$$$=\left(-1+\frac{1}{4}x^2\right)\cdot\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{8}x^2}=\frac{1}{2}e^{-\frac{1}{8}x^2}\cdot\left(\frac{1}{4}x^2-1\right)$$

Sorry, falls ich da zu schnell war ;)