Zeigen Sie durch vollständige Induktion:

Question

Aufgabe: Vollständige Induktion

Aufgabe \( 1(7+3 \) Punkte \( ) \) Sei \( a_{0}=0, a_{1}=1 \) und \( a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(3 a_{n}-a_{n-1}\right) \) für \( n \in \mathbb{N} \)
a) Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
$$ a_{n}=\frac{2^{n}-1}{2^{n-1}} $$
für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \).
b) Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \).

Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Aufgabe ? benötige Lösungsweg.. habe die einige Ansätze aber komme nicht dahinter...

Vielen dank für eure Hilfe im Voraus!

Comments

Was sind deine Ansätze?? Schreibe sie hin!

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ich bin mit den üblichen Ansätzen für Induktion vorgegangen also versucht einen Induktionsanfang zu machen etc, jedoch waren die Aufgaben an denen man geübt hat einfacher und bei mir haperts schon sofort beim anfang

Answer 1

Aloha :)

Wir untersuchen die rekursiv definierte Fogle$$a_{n+1}=\frac{1}{2}(3a_n-a_{n-1})\quad;\quad a_0=0\quad;\quad a_1=1$$

Behauptung\(\quad a_n=\frac{2^n-1}{2^{n-1}}\quad\text{für alle}\quad n\in\mathbb N_0\)

Verankerung bei \(n=0\) und \(n=1\):$$n=0\implies a_n=\frac{2^0-1}{2^{0-1}}=\frac{1-1}{\frac{1}{2}}=0\quad\checkmark$$$$n=1\implies a_n=\frac{2^1-1}{2^{1-1}}=\frac{2-1}{1}=1\quad\checkmark$$

Induktionsschritt

$$a_{n+1}\stackrel{(\text{Ind.Vor.})}{=}\frac{1}{2}\left(3\cdot\frac{2^n-1}{2^{n-1}}-\frac{2^{n-1}-1}{2^{(n-1)-1}}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{3}{1}\cdot\frac{2^n-1}{2^{n-1}}-\frac{2}{2}\cdot\frac{2^{n-1}-1}{2^{(n-1)-1}}\right)$$$$\phantom{a_{n+1}}=\frac{1}{2}\left(\frac{3(2^n-1)}{2^{n-1}}-\frac{2^n-2}{2^{n-1}}\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{3\cdot 2^n-3-2^n+2}{2^{n-1}}=\frac{2\cdot2^n-1}{2^n}$$$$\phantom{a_{n+1}}=\frac{2^{n+1}-1}{2^{(n+1)-1}}\quad\checkmark$$

Der Grenzwert der Folge ist:$$a_\infty=\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2^n-1}{2^{n-1}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{2^n}{2^{n-1}}-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=\lim\limits_{n\to\infty}\left(2-\frac{1}{2^{n-1}}\right)=2$$

Answer 2

Du musst hier immer mit der Rekursion arbeiten:
Induktionsanfang: Für \(n=0\) ist \(a_{0}=\frac{2^{0}-1}{2^{0-1}}=0 \).
Für den Induktionsschritt benutzt du die Rekursionsformel zu Beginn und setzt dort deine Induktionsvoraussetzung ein:

\( a_{n+1}=\frac{1}{2}\left(3\cdot \underbrace{a_{n}}_{IV \text{ einsetzten}}-\underbrace{a_{n-1}}_{IV \text{ einsetzen}}\right)=... \)

Comments

Danke für die schnelle Antwort! Habe getan was du sagtest aber hänge beim auflösen fest würds dir was ausmachen mir die schritte noch zu zeigen? Wäre sehr hilfreich..

Mfg!