Bestimmen Sie aus der Menge der Geraden diejenige Gerade, die parallel zur

Question

AufgabE

Gegeben seien die Ebene und die Geraden
                    E : x− y − z + 4 = 0
g : r(λ) = ( 2.2.2) +λ  (t−1, −1, 2t+3) , ∈ ℝ .
Bestimmen Sie aus der Menge der Geraden diejenige Gerade, die parallel zur
Ebene E verläuft, und berechnen Sie ihren Abstand zur Ebene E

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Answer 1

Hallo,

Gegeben sei die Ebene$$E: \quad x− y − z + 4 = 0 \to \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix}\vec x = -4\\$$und die Geradenschar$$g_t: \quad r(\lambda) = \begin{pmatrix} 2\\2\\2 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} t−1\\−1\\ 2t+3\end{pmatrix}\quad \lambda,t\,\in \mathbb R $$Eine Gerade läuft genau dann parallel zur Ebene, wenn ihr Richtungsvektor senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene steht. Also muss das Skalarprodukt 0 werden:$$\begin{aligned} \begin{pmatrix}1\\-1\\-1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} t−1\\−1\\ 2t+3\end{pmatrix} &= 0\\ t-1 + 1 - 2t - 3 &= 0 \\ -t - 3 &= 0\\ t &= -3 \end{aligned}$$Folglich verläuft die Gerade$$g_{(-3)}:\quad r(\lambda) = \begin{pmatrix}2\\ 2\\ 2\end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix}-4\\ -1\\ -3\end{pmatrix}$$parallel zu \(E\). Folgende Szene in Geoknecht3D zeigt dies auch:

(klick auf das Bild)