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Du sollst eine Funktion \(U(x;y)\) unter einer Nebenbedingung \(F(x;y)=\text{const}\) optimieren:$$U(x;y)=\ln\left(y^{4x}\right)=4x\ln(y)\quad;\quad F(x;y)=2x+y\stackrel!=50$$
Der Methode von Lagrange folgend muss der Gradient der zu optimierenden Funktion eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, bedeutet dies:$$\operatorname{grad}U(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}F(x;y)\quad\implies\quad\binom{4\ln(y)}{4\frac{x}{y}}=\lambda\binom{2}{1}$$Wir dividieren die erste Gleichung durch die zweite und erhalten:$$\frac{4\ln(y)}{4\frac{x}{y}}=\frac{2\lambda}{\lambda}=2\implies\ln(y)=2\frac{x}{y}\implies x=\frac{1}{2}y\ln(y)$$
Wenn wir dies in die Nebenbedingung einsetzen, erhalten wir eine Gleichung, die sehr fummelig ist. Ich habe sie daher numerisch gelöst:$$50=2x+y=y\ln(y)+y\implies y=13,7956\implies x=18,1022$$Damit können wir nun den Lagrange-Multiplikator im Optimum ausrechnen:$$\lambda=2\ln(y)\approx\boxed{5,2487}$$
