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Die Aufgabe lautet Beschreiben Sie in möglichst einfacher Weise die Menge D aller z ∈ ℂ, z ≠ 1, für die Reihe

∑∞n=0 (z/(1-z))n   konvergiert.

Ich habe keine Ahnung wie ich das machen soll. Kann mir bitte jemand helfen?

Gefragt von
Vermutlich muss da |z/(1-z)| < 1 sein.

2 Antworten

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Ich nehme an, du kennst die Summenformel für

∑∞n=0 qn?
Die ist konvergent, wenn |q| < 1.

In diesem Fall muss also gelten:

Schreiben wir z in der Form z=x+iy, dann erhält man:


Es handelt sich also um die Menge der komplexen Zahlen, deren Realteil kleiner ist als 1/2.

D = {z∈ℂ: Re(z) < 1/2}

Beantwortet von 10 k
Hi!

ich verstehe den zweiten schritt nicht, womit hast du |x+iy|/|1-x-iy| erweitert??
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Vermutlich muss da |z/(1-z)| < 1 sein.

Wenn du das weisst, kannst du umformen auf

|z| < |z- 1|

Wenn du ausserdem weisst, dass Betrag einer Differenz den Abstand 2er Zahlen in der komplexen Zahlenebene ist, kannst du erst mal die Gleichung

|z - 0| = |z- 1|

betrachten und die Mittelsenkrechte zwischen 0 und 1 einzeichnen. Also durch z=0.5 + 0i

Nun schraffierst du das Gebiet links von dieser Mittelsenkrechten.

Eine rechnerische Lösung ist ja schon vorhanden.
Beantwortet von 141 k

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