bestimme den mittelwert m von funktion f auf [a;b] und veranschauliche m

Question

skizziere den graphen von f. bestimme den mittelwert m von funktion f auf [a;b] und veranschauliche m

a) f(x) =x^2+3x  a=-3 b=1

b) f(x)= x(x-1)(x+3. )  a=-2 b=1

Wie genau rechne ich das ? Ich komme leider nicht weiter

Würde mich über Hilfe freuen.

Answer 1

1/(1 - (-3))·∫ (-3 bis 1) f(x) dx = -2/3

Comments

Wie sieht der Rechenweg aus ? Also die Stammfunktionen kann ich ja Bilden, aber wie ich das danach zusammenrechne weiß ich nicht so genau

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Muss ich 1/4* F(b)- F(a) Rechnen

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Muss ich 1/4* F(b)- F(a) Rechnen

Richtig aber Klammer bitte richtig

1/4 * (F(b) - F(a))

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Ja habe ich gerade vergessen, danke.

Muss ich dann auch die 1/4 mal die einzelnen Klammern rechnen . Also 1/4 * f(b) usw?

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Berechne zuerst F(b) - F(a) und teile das dann einfach durch 4.

Mach das mal und schaue ob du auf mein Ergebnis kommst. Wenn nicht melde dich nochmal mit der Rechnung.

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Ich komme auf -2/3 wenn ich das so  berechne. Danke, aber ich habe das ergnmis mal 1/4 gerechnet , dann hat das gepasst

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Mal 1/4 ist übrigens das gleiche wie geteilt durch 4.

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Wie würde die Stammfunktion von der zweiten Funktion aussehen ?

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Multipliziere die Funktion erstmal aus

f(x) = x·(x - 1)·(x + 3) = x^3 + 2·x^2 - 3·x

Kontrollergebnis für den Mittelwert

ym = 1/(1 + 2)·∫ (-2 bis 1) (x·(x - 1)·(x + 3)) dx = 2.25

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Okay danke, dann kriege ich das jetzt hin. Vielen Dank für ihre Hilfe :)

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Wäre die Stammfunktion so richtig ?

1/4x^4 +2/3x^3-3/2x^2

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Ja. Die hat georgborn auch unten, nur nicht ganz so schön notiert.

Du kannst übrigens mit der App Photomath recht leicht eine Stammfunktion berechnen lassen, mit der du dann vergleichen kannst.

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Okay aber wenn ich dann F(b)- F(a) rechne und mal 3 komme ich auf 20.25.

Ich weiß nicht wo der Fehler liegt

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Mal 1/3 oder durch 3.

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Noch eine letzte Frage, kann der Mittelwert negativ sein?

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Noch eine letzte Frage, kann der Mittelwert negativ sein?

natürlich

Stell dir vor dein Kontostand war im letzten Jahr durchweg negativ weil du Schulden hattest und du sollst dann die mittleren Schulden ausrechnen. Der Mittelwert ist dann natürlich auch negativ.

Answer 2

Bestimme den Wert A des Integrals  \( \int\limits_{a}^{b} \)f(x) dx  und dividiere das Ergebnis durch die Intervall-Länge L = b-a . Dann ist  m = A/L  der Mittelwert der Funktion f über dem Intervall  [a,b] .

Geometrisch kann man sich das so vorstellen, dass man die Funktion über ihrem Definitionsintervall "glattgestrichen" hat wie etwa die Butter in einem Topf. Das Rechteck mit der Breite L und der Höhe m  hat denselben Flächeninhalt wie das Gebiet, welches von Funktionsgraph, x-Achse und den vertikalen Begrenzungslinien bei x=a und x=b umschlossen wird.

(Dabei muss man etwas großzügig hingucken, falls f im Intervall [a,b] z.B. auch negative Werte annimmt)

Answer 3

f(x)= x(x-1)(x+3. )  a=-2 b=1

f ( x ) = x^3 + 2*x^2 - 3*x
Stammfunktion bilden
S ( x ) = x^4 / 4 + 2 * x^3 / 3 - 3 * x^2 / 2

Die Funktion hat 3 Nullstellen
x = 0
x = 1
x = -3

Es muß integriert werden zwischen
-2 bis 0
0 bis 1
[ S ] zwischen -2 und 0
[ S ] zwischen 0 und 1

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Comments

Hallo Georg. Hattest du verstanden worum es in der Aufgabe ging, dass du hier abschnittsweise Integrieren möchtest?

Ich hatte oben gerade ein Kontrollergebnis für den Mittelwert hingeschrieben

ym = 1/(1 + 2)·∫ (-2 bis 1) (x·(x - 1)·(x + 3)) dx = 2.25

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Hallo coach,
da hatte ich ein lützel etwas anderes
gerechnet.
Deine Skizze sah auch etwas merkwürdig
aus.
Ich kann natürlich nochmal rechnen.
mfg Georg

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Meine Skizze gehörte zur 1. und nicht zur 2. Aufgabe.

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Ich habe nichts davon gesagt ob deine Skizze
zu a. oder b. gehört.