Ableitung einer quadratischen Funktion

Question

Ich bräuchte bitte einmal Hilfe:

Bestimmen sie die Ableitung einer quadratischen Funktion g mit g(x)= a*x²+c (aER, cER) an einer beliebigen Stelle x0.

Answer 1

g'(x)=2ax. g'(x₀)=2ax₀.  ...

Answer 2

(ax²+c-(ax0²+c)/(x-x0)

= (a*(x²-x0²)/(x-x0) = a(x+x0) = ax für x0 gegen 0

Comments

"für x0 gegen 0 "

Meinst du nicht "für x gegen x0"

Dann käme dort

"= (a*(x²-x0²)/(x-x0) = a(x+x0) für x gegen x0

ergibt sich "= a(x0 + x0) = 2ax0

Answer 3

Aloha :)

Gesucht ist der Grenzwert:$$g'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}\quad\text{wobei}\quad g(x)=ax^2+c$$Das Problem bei der Berechnung ist, dass der Nenner zu Null wird, wenn sich $x$ immer weiter $x_0$ annähert. Daher müssen wir den Bruch erst so umformen, dass wir den Nenner rauskürzen können:

$$\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{(ax^2+c)-(ax_0^2+c)}{x-x_0}=\frac{ax^2+c-ax_0^2-c}{x-x_0}=\frac{ax^2-ax_0^2}{x-x_0}$$Den Zähler können wir mit Hilfe der dritten binomischen Formel umschreiben:$$ax^2-ax_0^2=a(x^2-x_0^2)=a(x-x_0)(x+x_0)$$Setzen wir das wieder in den Bruch ein, können wir kürzen:$$\frac{g(x)-g(x_0)}{x-x_0}=\frac{a\cdot\cancel{(x-x_0)}\cdot(x+x_0)}{\cancel{x-x_0}}=a(x+x_0)$$

Damit können wir nun den Grenzwert $x\to x_0$ bestimmen:$$g'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}\left(\,a(x+x_0)\,\right)=a(x_0+x_0)=2ax_0$$

Die gesuchte Ableitung ist also $g'(x_0)=2ax_0$.

Comments

Oh, vielen Dank. Das ergibt Sinn! :) Jetzt hab ich’s verstanden