was ist das maximum dieser funktion

Question

f(x,x)=wurzel(x)+wurzel(y)

nb: 6x+13y=17

Answer 1

Stelle die NB um auf y=-6x/13  + 17/13 und ersetze damit das x in der Funktionsgleichung.

Damit musst du einfach das Maximum von f(x)=$\sqrt{x}$+$\sqrt{\frac{-6x+17}{13}}$ bestimmen.

Answer 2

Text erkannt:

$f(x, y)=\sqrt{x}+\sqrt{y}$ soll maximal werden
NB: $6 x+13 y=17$
$13 y=17-6 x$
$y=\frac{17}{13}-\frac{6}{13} x$
$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt{\frac{17}{13}-\frac{6}{13} x}$
$f^{\cdot}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}-\frac{\frac{6}{13}}{2 \sqrt{\frac{17}{13}-\frac{6}{13} x}}=\frac{1}{2 \sqrt{x}}-\frac{\frac{3}{13}}{\sqrt{\frac{17}{13}-\frac{6}{13} x}}$
$\frac{1}{2 \sqrt{x}}-\frac{\frac{3}{13}}{\sqrt{\frac{17}{13}-\frac{6}{13} x}}=0$
$\frac{1}{2 \sqrt{x}}=\frac{\frac{3}{13}}{\sqrt{\frac{17}{13}-\frac{6}{13} x}}$
$\sqrt{\frac{17}{13}-\frac{6}{13} x}=\left.\frac{6}{13} \sqrt{x}\right|^{2}$
$\frac{17}{13}-\frac{6}{13} x=\frac{36}{169} x$
$x=\frac{221}{114}$
$y=\frac{17}{13}-\frac{6}{13} \cdot \frac{221}{114}=\frac{102}{247}$
$f\left(\frac{221}{114} ; \frac{102}{247}\right)=\sqrt{\frac{221}{114}}+\sqrt{\frac{102}{247}} \approx 2,035$

Answer 3

Aloha :)

Eine Funktion $f(x;y)$ soll unter einer Nebenbedingung $g(x;y)$ maximiert werden:$$f(x;y)=\sqrt x+\sqrt y\to\text{Max!}\quad;\quad g(x;y)=6x+13y\stackrel!=17$$

Nach Lagrange muss in einem Extremum von $f$ der Gradient von $f$ kollinear zum Gradienten von $g$ sein, d.h. die beiden Gradienten sind parallel oder antiparallel zueinander:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\quad\implies\quad\binom{\frac{1}{2\sqrt x}}{\frac{1}{2\sqrt y}}=\lambda\binom{6}{13}$$

Wir dividieren beide Koordinaten-Gleichungen durcheinander:$$\frac{\frac{1}{2\sqrt x}}{\frac{1}{2\sqrt y}}=\frac{6\lambda}{13\lambda}\implies\frac{\sqrt y}{\sqrt x}=\frac{6}{13}\implies\frac{y}{x}=\frac{36}{169}\implies \underline{\underline{y=\frac{36}{169}x}}$$

Wir setzen den gefundenen Zusammenhang in die Nebenbedingung ein:$$17=6x+13y=6x+13\cdot\frac{36}{169}x=\frac{78}{13}x+\frac{36}{13}x=\frac{114}{13}x\implies x=\frac{221}{114}$$Damit haben wir auch einen konkreten Wert für $y$:$$y=\frac{36}{169}x=\frac{36}{169}\cdot\frac{221}{114}=\frac{6}{13}\cdot\frac{17}{19}=\frac{102}{247}$$

Das gesuchte Extremum der Funktion liegt daher bei:$$f\left(\frac{221}{114}\,;\,\frac{102}{247}\right)=\sqrt{\frac{323}{78}}\approx2,034951$$