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Aufgabe:

Ableitung einer impliziten Funktion bestimmen an der Stelle f(1,2)

f(x,y)=2xe^x+yx^2+ln(y^2)+ye^x=y+1


Problem/Ansatz:

… Ich habe es mithilfe der GRS versucht und natürlich davor ein Minus gesetzt. Ich bin mir aber nicht sicher, ob mein Ergebnis richtig ist.

habe es abgeleitet und an der Stelle f(1,2)=-3,152 rausbekommen.

von

Das ist ne ziemliche Rechnereidie du uns zumutest. was ist GRS?

lul

2 Antworten

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Hallo,

f(x,y)=2xe^x+yx^2+ln(y^2)+ye^x-y-1=0

fx=\( 2 x y+e^{x}(2 x+y+2) \)

fy=\( x^{2}+e^{x}+\frac{2}{y}-1 \)

allgemein:

y'= \( \frac{-fx}{fy} \)

eingesetzt:

=\( \frac{-(4+6e)}{e+1} \)

≈ -5.462

von 107 k 🚀
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Aloha :)

Definiiere die Hilfsfunktion:$$g(x;y)\coloneqq f(x;y)-(y+1)=(2xe^x+yx^2+\ln(y^2)+ye^x)-(y+1)=0$$

Da die Funktion identisch \(0\) ist, muss auch ihr totales Differential gleich \(0\) sein:$$0=dg=\frac{\partial g}{\partial y}\,\frac{dy}{dx}+\frac{\partial g}{\partial x}=\frac{\partial g}{\partial y}\,y'(x)+\frac{\partial g}{\partial x}\quad\implies\quad y'(x)=-\frac{\frac{\partial g}{\partial x}}{\frac{\partial g}{\partial y}}$$

Wir setzen den Funktionsterm ein und rechnen aus:$$y'(x)=-\frac{2e^x+2xe^x+2yx+ye^x}{x^2+\frac{2y}{y^2}+e^x-1}=-\frac{e^x(2+2x+y)+2yx}{x^2+\frac{2}{y}+e^x-1}$$

Mit \((x;y)=(1;2)\) finden wir die Ableitung:

$$y'(1)=-\frac{e(2+2+2)+2\cdot2}{1+\frac{2}{2}+e-1}=-\frac{6e+4}{e+1}\approx-5,462117$$

von 67 k 🚀

Hallo,

sollte für dieses Szenario nicht g(1,2)=0 gelten?

Mich würde auch interessieren, was GRS bedeutet?

Gruß

Hallo Peter ;)

Ja, ich habe mir extra die Funkion \(g(x;y)\) so definiert, dass sie gleich \(0\) ist. Ich habe die Aufgabe so verstanden, dass \(y'(x)\) speziell an der Stelle \(x=1\) bestimmt werden soll.

Viele Grüße

Stefan

Hallo,

sollte für dieses Szenario nicht g(1,2)=0 gelten?

Mich würde auch interessieren, was GRS bedeutet?

Gruß


Ja, aber woher weiß ich, dass y(1)=2 ist?

Gruß

Achso, jetzt weiß ich, was du meinst...

Wir haben ja \(f(x;y)=f(x;y(x))\). Es soll die implizite Ableitung \(y'(x)\) an der Stelle \(f(1;2)\) bestimmt werden, das heißt doch dann, dass \(x=1\) und \(y(x=1)=2\) ist.

Sollte nicht sein für x=1:

$$0=f(x,y(x))=f(1,y(1))=f(1,2)$$

Aber es ist nicht f(1,2)=0?

Gruß

Stimmt, es sollte eigentlich \(f(x;y)=\cdots=y+1\) sein. Insbesondere also \(f(1;2)=3\). Aber das ist es schon in der Aufgabenstellung nicht.

Ja, das war mein Bedenken. Man kann die Berechnung noch retten, wenn man sagt, dass die Funktion y eben die Gleichung

$$g(x,y(x))-g(1,2)=0$$

erfüllt.

Gruß

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