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Aufgabe:

Das Schaubild K einer polynomfunktion (ganzrationale Funktion) 3. Grades geht durch den Ursprung und durch A(2/1)

Es hat an den Stellen x=1 und x=3 je eine waagrechte tangente.

Bestimmen Sie den zugehörigen Funktionsterm.

Welche Bedeutung hat der Punkt A?


Problem/Ansatz:

Bitte helfen bei dieser Aufgabe. Mit möglichst genauem Rechenweg

von

Könntest du mir mal die Gleichungen hin schreiben, die ich benötige, um mit dem Gauß verfahren den funktionsterm herauszufinden ?☺️

2 Antworten

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Hallo,

eine Funktion dritten Grades und ihre 1. Ableitung kann ausgedrückt werden durch

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\\f'(x)=3ax^2+2bx+c\)

Die Funktion geht durch den Ursprung ⇒ f(0) = 0 ⇒ d = 0

und durch den Punkt A (2|1)                 ⇒ f(2) = 1

waagerechte Tangenten bei x = 1 und x = 3 ⇒f'(1) = 0 und f'(3) = 0

Damit erhältst du drei weitere Gleichungen, um die Unbekannten a, b und c zu bestimmen.

Gruß, Silvia

von 20 k

Könntest du mir mal die Gleichungen hin schreiben, die ich benötige, um mit dem Gauß verfahren den funktionsterm herauszufinden ?☺️


Wenn da steht f(2) = 1, setzt du für x "2" ein und die Gleichung = 1

\(8a+4b+2c=1\)

So machst du es auch bei den anderen beiden Gleichungen mit der 1. Ableitung.

Würden die anderen zwei Gleichungen dann so heissen:


0= 3a+2b+1c

0=27a+6b+3c


Weil dann kommt beim lösen der Matrix eine leere Lösungsmenge raus und ich muss ja den funktionsterm herausfinden

Ja, deine Gleichungen sind richtig und die Matrix dann so aus:

\(\left(\begin{matrix} 8 & 4 & 2 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 27 & 6 & 1 & 0 \end{matrix}\right)\)

Bei mir ist die Lösungsmenge aber nicht leer.

Danke ich hab’s jetzt

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Die Gesuchte ist eine Funktion dritten Grades:$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

Da sie durch den Ursprung geht, können wir \(d\) direkt weglassen, denn$$0\stackrel!=f(0)=d\implies \underline{\underline{d=0}}$$Für \(a\), \(b\) und \(c\) brauchen wir 3 Gleichungen bzw. 3 Bedingungen.

1) Sie geht durch den Punkt \((2|1)\) heißt: \(\qquad\qquad\quad\,\,1\stackrel!=f(2)=8a+4b+2c\)

2) Sie hat bei \(x=1\) eine waagerechte Tangente heißt: \(0\stackrel!=f'(1)=3a+2b+c\)

3) Sie hat bei \(x=3\) eine waagerechte Tangente heißt: \(0\stackrel!=f'(3)=27a+6b+c\)

Du kannst also das Gaußverfahren durchführen mit:

$$\begin{array}{rrr|c|l}a & b & c & = & \text{Aktion}\\\hline 8 & 4 & 2 & 1 &-2\cdot Z_2\\3 & 2 & 1 & 0 & \\27 & 6 & 1 & 0 &-9\cdot Z_2\\\hline 2 & 0 & 0 & 1 &:\,2\\3 & 2 & 1 & 0 &-1,5\cdot Z_1 \\0 & -12 & -8 & 0 & :\,(-4)\\\hline1 & 0 & 0 & 0,5 & \\0 & 2 & 1 & -1,5 &:\,2\\0 & 3 & 2 & 0 &-1,5\cdot Z_2\\\hline1 & 0 & 0 & 0,5 & \\0 & 1 & 0,5 & -0,75 &-Z_3\\0 & 0 & 0,5 & 2,25 &\cdot\,2\\\hline1 & 0 & 0 & 0,5 &\Rightarrow a=0,5 \\0 & 1 & 0 & -3 &\Rightarrow b=-3\\0 & 0 & 1 & 4,5 &\Rightarrow c=4,5\\\hline\hline\end{array}$$

Die Gesuchte ist also:$$f(x)=\frac{1}{2}x^3-3x^2+\frac{9}{2}x$$

~plot~ x^3/2-3x^2+4,5x ; {0|0} ; {2|1} ; {1|2} ; {3|0} ; 2 ; 0 ; [[-1|5|-3|5]] ~plot~

von 67 k 🚀

Vielen Dank!!!!!

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