Mathematik - Flächeninhalt einer unbegrenzten Fläche berechnen

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnte mir bitte jemand folgende Teilaufgabe c) berechnen, ich verstehe kaum, wie ich vorzugehen habe. Mein Ergebnis wäre 3 (?).

c) Der Graph von f mit f(x) = $\frac{a}{b}$ ln(x)/x² schließt mit der x-Achse für x>/=0 eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein. Untersuchen Sie, ob diese Fläche einen endlichen Inhalt hat. Berechnen Sie ggf. den Flächeninhalt.

Vielen Dank!

Comments

Hey hey also die Idee ist erstmal, dass du deine Stammfunktion von lnx/x² bildest. Hast du das bereits getan? Ansonsten berechne ich sie dir nochmal. Dann machst du eine Grenzwert Betrachtung, dass heißt was passiert mit deiner Stammfunktion wenn du positive Werte für x einsetzt, die immer größer und größer werden. Wird dann dein Integral auch immer größer und Größer oder läuft das vielleicht gegen einen endlichen Wert. Kannst du auch gut dann über den Taschenrechner überprüfen, wenn du ganz große positive Werte einsetzt in deine Stammfunktion.

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Die Stammfunktion habe ich bereits berechnet - dort bekomme ich F(x) = -(ln(x) + 1) * 1/x heraus. Ich komme jedoch dort nicht weiter. Ich setze immer den Faktor 0 in den oberen Grenzwert ein und hingegen k im unteren Grenzwert. Dann könne ich später den Lim von -∞ nutzen.

Wie soll ich jetzt weiterkommen? Beziehungsweise wie komme ich dort jetzt auf das Ergebnis?

Answer 1

Hallo,

schau Dir mal den Verlauf der Funktion $f(x)= \ln(x)/x^2$ an:

Plotlux öffnen

f₁(x) = ln(x)/x²Zoom: x(-1…8) y(-5…2)

ich lasse den Faktor $a/b$ einfach weg. Das ist nur ein Faktor und man kann das evt. Ergebnis dann am Ende damit multiplizieren.

Du siehst, dass die Funktion $f$ mit $x \to 0$ nach $-\infty$ verläuft. Da es in der Aufgabenstellung heißt

... schließt mit der x-Achse ... eine nach rechts unbegrenzte Fläche ein.

betrachte ich nur den Teil ab $x \ge 1$. D.h. die untere Grenze ist $1$ und die obere sei $k$ mit $k \to \infty$. Damit ist die rechte Fläche $F$:$$\begin{aligned}F &= \lim_{k \to \infty} \int_1^{k} \frac{\ln(x)}{x^2}\,\text dx \\&= \lim_{k \to \infty}\left[-\frac{\ln(x)+1}{x} \right]_1^k \\&= \lim_{k \to \infty} \left( -\frac{\ln(k)+1}{k} +1 \right)\end{aligned}$$Ein $x$ wächst sehr viel schneller als ein $\ln(x)$. Es ist also davon auszugehen, dass der linke Summand mit wachsendem $k$ gegen 0 läuft. Wende die Regel von l'Hospital an: $$\lim_{k \to \infty} \frac{\ln(k)+1}{k} \stackrel{!}= \lim_{k\to \infty} \frac{\frac 1k}{1} = 0$$Damit bleibt$$F = 1$$Die linke Fläche $0 \lt x \le 1$ hat einen unendlichen Flächeninhalt.

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Okay, vielen Dank!

Sofern ich aber keine Grenzen zwischen 0 und 1 setze, besitze ich einen endlichen Inhalt, oder nicht?

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Sofern ich aber keine Grenzen zwischen 0 und 1 setze, besitze ich einen endlichen Inhalt, oder nicht?

Du kannst natürlich eine Grenze zwischen 0 und 1 setzen. Z.B.:$$\int_{0,5}^1 \frac{\ln(x)}{x^2} = \left. -\frac{\ln(x)+1}{x}\right|_{0,5}^1 = 1-2\ln(2) \approx -0,386$$und dieser Flächeninhelt ist endlich, solange die untere Grenze $x_1\gt 0$ ist. Nur wenn man die linke Grenze zu 0 setzt, dann wird der Flächeninhalt unendlich groß.

Und für den Rest der positiven Werte von $x$ gilt (s.o.)$$\int_1^{\infty} \frac{\ln(x)}{x^2} = 1$$