Kombinatorik: Wir betrachten alle dreistelligen Zahlen mit verschiedenen Ziffern Wieviele sind gerade?

Question

Ich übe gerade Kombinatorik und habe mir dazu ein paar Aufgaben herausgesucht.

Nun kann ich mir eine Aufgabe aber auch mit Lösung partout nicht erklären und habe im Internet auch nichts gefunden, was mir weiterhelfen könnte...

Aufgabe: Wir betrachten alle dreistelligen Zahlen mit verschiedenen Ziffern Wieviele sind gerade ?

Lösung: 9⋅8⋅1 = 72 enden mit 0  und 8⋅8⋅4 = 256 enden mit den anderen geraden Ziffern; also sind insgesamt 72 + 256 = 328 gerade.

Problem/Ansatz:

Ich hätte gedacht, es seien 8x8x5, da beim ersten Zug 1-9 möglich ist, beim zweiten 0-9, abzüglich des ersten und beim Dritten 0,2,4,6,8...

Wäre lieb, wenn mir da jemand weiterhelfen könnte :)

Answer 1

Hallo,

es ist sicher einfacher zunächst den Sonderfall der 0 zu betrachten und bei der 3.Ziffer zu beginnen. Aber ich versuche es mal von vorne zu erklären.

da beim ersten Zug 1-9 möglich ist

das sind 9 Möglichkeiten für die erste Ziffer.

beim zweiten 0-9, abzüglich des ersten

auch richtig, mach 10-1=9 Möglichkeiten für die zweite Ziffer. Zusammen schon 81 Kombinationen.

und beim Dritten 0,2,4,6,8...

... und das sind eben nicht 5 sondern das ist davon abhängig, wieviel gerade Ziffern vorher gezogen wurden. Dazu eine Tabelle:$$\begin{array}{c}& 1.Zf.& 2.Zf& & 3.Zf.& n\\ \hline uu& 5& 4& 20& 5& 100\\ gu& 4& 5& 20& 4& 80\\ ug& 5& 5& 25& 4& 100\\ gg& 4& 4& 16& 3& 48\\ \hline & & & 81& & 328\end{array}$$Wenn für die beiden ersten Ziffern jeweils eine ungerade Zahl \(\to uu\) gezogen wurde, bleiben für die dritte noch alle 5 Möglichkeiten. Im Falle von einer geraden Zahl sind es 4 und bei zwei geraden Zahlen sind es eben nur 3. Und die Summe ist wieder die 328.

Einfacher ist es aber, zunächst den Fall zu betrachten mit der 0 am Ende. Für die zweite Ziffer bleiben die Ziffern 1 bis 9 und für die erste dann 8. Sind zusammen 72 Möglichkeiten. Im nächsten Schritt wählt man eine Ziffer \(\ne 0\) am Ende, sind 4 Möglichkeiten, dann bleiben für die erste(!) Ziffer 8 übrig und für die zweite Ziffer eben auch 8. Wegen 10-2=8. macht $$9 \cdot 8 + 4 \cdot 8 \cdot 8 = 328$$Wenn Du die zweite Ziffer vor der ersten betrachtest, musst Du wieder unterscheiden, ob die 0 gewählt wurde oder nicht. Im Falle der 0 für die 2.Ziffer bleiben 8 (statt 7) Möglichkeiten für die erste.

Comments

Das hat nun auch die letzten Unklarheiten bei mir beseitigt, vielen Dank für die ausführliche Erklärung!

Answer 2

Die Null spielt eine Sonderrolle, da eine dreistellige Zahl nicht mit 0 anfangen kann.

Nun zu deinen Überlegungen:

Für die Hunderter-Ziffer gibt es 9 Möglichkeiten, nämlich 1,...,9.

Für die mittlere bleiben 9, weil ja die Null hier auch möglich ist.

Die Einerziffer ist jetzt problematisch.

Wenn die ersten beiden ungerade waren, bleiben 5 zur Auswahl.

War eine gerade und eine ungerade, bleiben 4.

Und wenn die ersten beiden gerade waren, bleiben 3 übrig.

Es müssten also drei Fälle unterschieden werden. Da ist die vorgeschlagene Lösung doch einfacher.

:-)

Comments

Erstmal Was du schreibst verstehe ich soweit, allerdings kann ich mir die Lösung immer noch nicht ganz erklären...

Habe ich es richtig verstanden, dass die Ziffern mit 0 einzeln gerechnet werden müssen, weil sie dort eben nicht als erste Ziffer stehen dürften? Demnach wäre es hier:
Ziffer 1:  1-9
Ziffer 2:  1-9 (abzüglich 1)
Ziffer 3:  0

9x8x1

Beim zweiten Teil käme ich nach der Logik allerdings gerade auf:

Ziffer 1:  1-9
Ziffer 2:  1-9 (abzüglich 1)
Ziffer 3:  2,4,6,8

9x8x4

Wie kommt man da zweimal auf die 8?