Wie prüfe ich eine Funktionenfolge auf gleichmäßige Konvergenz?

Question

Aufgabe:

Gegeben sei \( R \in \mathbb{R}, R>1 \). Prüfen Sie die Funktionenfolge \((f_n)_{n \in \mathbb{N}} \),

$$ f_n(x):= \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}, x \in [R, ∞) $$

auf gleichmäßige Konvergenz.

Problem:

Ich habe die englische Definition vor mir, jedoch keine Ahnung, was ich jetzt genau machen/wie ich vorgehen muss.

Könnte einer an diesem Beispiel oder an einem von euch gewählten Beispiel zeigen, was nun konkret zu machen ist, sodass ich die Vorgehensweise auf ähnliche Aufgaben übertragen kann?

Comments

Hallo,

der erste Schritt ist (meistens) auf punktweise Konvergenz zu prüfen, d.h. für jedes x aus dem Definitiionsbereich festzustellen: Was ist

$$f(x)=\lim_{n \to \infty} f_n(x)$$

oder eben festzustellen, dass dieser Grenzwert für ein / einige x gar nicht existiert.

Dann versucht man eine Abschätzung für

$$|f(x)-f_n(x)|$$

zu finden, die unabhängig von x ist - meist hilft eine Abschätzung für das Supremum dieses Terms.

Gruß

---

Danke für die Anleitung. Ich muss nochmal schauen, wie die Lösung solch einer Aufgabe von Anfang bis zum Ende ausschaut, um es komplett nachvollziehen zu können. Ich versuch mal irgendwo im Internet fündig zu werden

Answer 1

Hallo,

Grenzfunktion der Funktionenfolge ist \(f:[R,\infty) \to \mathbb{R}, f(x):=1\). Damit gilt:

$$|f_n(x)-f(x)|=|\frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}-1|=\frac{1}{1+x^{2n}} \leq \frac{1}{1+R^{2n}} \leq \frac{1}{R^{2n}}$$

Dies wird kleiner als ein vorgegebenes \(\epsilon\) wenn gillt:

$$R^{-2n} < \epsilon \iff n>\frac{\ln(\epsilon)}{2\ln(R)}$$

Also liegt gleichmäßige Konvergenz vor.

Gruß MathePEter

Comments

Danke für die Klarstellung. Bist du zufällig der von Youtube?

---

Nein bin ich nicht.

Answer 2

Hallo, in Quantorenschreibweise lautet die Definition:

Sei \(D\subseteq \mathbb{R}\) und \(f:\ D\to \mathbb{R}\) sowie \((f)_{n\in \mathbb{N}}\) mit \(f_n: D\to \mathbb{R}\) eine Funktionsfolge. \((f)_{n\in \mathbb{N}}\) heißt gleichmäßig konvergent gegen \(f\), falls gilt:

\(\forall \varepsilon > 0\ \exists N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\ \forall x\in D\ \forall n\geq N_{\varepsilon}: \underbrace{|f_n(x)-f(x)|<\varepsilon}_{\text{Fehlerabschätzung}}\).

Konkret hast du also \(D=[R,\infty),\quad R>1\) und deine Funktionsfolge

\(f_n: [R,\infty)\to \mathbb{R}, x\mapsto \frac{x^{2n}}{1+x^{2n}}\).

Du musst erstmal die Grenzfunktion \(f\) raten. Hauptziel ist es nun, die Fehlerabschätzung so machen, sodass du den Betrag \(|f_n(x)-f(x)|\) nur in Abhängigkeit von \(\varepsilon>0\) ,,unterbieten" kannst. Aber führe dir erstmal die Definition vor Augen und rate die Grenzfunktion \(f\).

Comments

Ich kenne die Schreibweise und müsste die Grenzwertfunktion nicht f(x)=1 sein? Wie bekomme ich nun dieses Unterbieten hin? Könntest du das weiter ausführen? Ich muss es einmal komplett gesehen haben, um das Konzept zu eruieren. Ich wäre dir sehr dankbar.

---

Ok gut. Ja, die Grenzfunktion ist 1. Jetzt setze ich einfach alles mal ein und beobachte, was man tun kann, was unserem Ziel zu gute kommt: Wir müssen ein \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\), sodass die obige Definition erfüllt ist.

\(|f_n(x)-1|=\left |\frac{1}{1+x^{2n}} \right |\stackrel{x\in [R,\infty)}{=} \frac{1}{1+x^{2n}}\leq \frac{1}{x^{2n}}\leq \frac{1}{x^2}\leq \frac{1}{n^2}\leq \frac{1}{n}\leq \frac{1}{N_{\varepsilon}}\)

Wähle hier also \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\) mit \(N_{\varepsilon} > \frac{1}{\varepsilon}\). Damit hast du es.

---

Wieso gilt

$$\frac{1}{x^2} \leq \frac{1}{n^2}$$

zum Beispiel für x=R??

---

Ah stimmt. Das hab ich übersehen. Sorry. Und wenn ich das mir so weiter überlege, dann ist \(f_n\) auch nicht gleichmäßig konvergent, aber punktweise.

Hier aber zunächst, warum die gleichmäßige Konvergenz nicht funktioniert. Dafür negiere ich alle Quantoren. Damit kann man folgendes machen:

Wähle \(\varepsilon=\frac{1}{5}\) und sei \(N_{\varepsilon}\in \mathbb{N}\) beliebig. Nun wähle \(n=N_{\varepsilon}\) und wähle

\(x\in [R,2^{\frac{1}{N_{\varepsilon}}}]\). Dann gilt zunächst

\(1<R\leq x \leq 2^{\frac{1}{N_{\varepsilon}}} \quad \Rightarrow \quad R^{2\cdot N_{\varepsilon}}\leq x^{2\cdot N_{\varepsilon}}\leq \Big(2^{\frac{1}{N_{\varepsilon}}} \Big)^{2\cdot N_{\varepsilon}}=4\). Damit ist

\(|f_n(x)-1|=\left |\frac{1}{1+x^{2n}}\right |=\frac{1}{1+x^{2N_{\varepsilon}}}\geq \frac{1}{1+4}=\frac{1}{5}=\varepsilon\).

Damit ist \(f_n\) nicht gleichmäßig gegen \(1\) konvergent.

-------------------------------------------------------------------------------

Jetzt zur punktweisen Konvergenz. Die lautet ja in Quantorenschreibweise:

\(\forall x\in D \ \forall \varepsilon>0 \ \exists N_{\varepsilon,x}\in \mathbb{N} \ \forall n\geq N_{\varepsilon,x}: |f_n(x)-f(x)|<\varepsilon\).

Im Prinzip nutze ich fast dieselbe Argumentation von oben:

Seien \(x\in [R,\infty)\) sowie \(\varepsilon>0\) beliebig. Dann setzt man erstmal ein:

\(|f_n(x)-1|=\left |\frac{1}{1+x^{2n}} \right |\stackrel{x\in [R,\infty)}{=} \frac{1}{1+x^{2n}}\leq \frac{1}{x^{2n}}\leq \frac{1}{x^n}\leq \frac{1}{x^{N_{\varepsilon,x}}}=...\)

-------------------------Nebenrechnung---------------------------

Jetzt muss man dieses \(N_{\varepsilon,x}\) passend bestimmen:

\(\frac{1}{x^{N_{\varepsilon,x}}}\stackrel{!}{<}\varepsilon\quad \Rightarrow N_{\varepsilon,x}>\frac{\ln\left(\frac{1}{\varepsilon} \right)}{\ln(x)}\)

-------------------------Nebenrechnung Ende-------------------

\(...=\frac{1}{x^{N_{\varepsilon,x}}}<\frac{1}{x^{\frac{\ln\left(\frac{1}{\varepsilon} \right)}{\ln(x)}}}=\frac{1}{x^{-\frac{\ln(\varepsilon )}{\ln(x)}}}=x^{\frac{\ln(\varepsilon )}{\ln(x)}}=...\)

-------------------------Nebenrechnung---------------------------

Der Ausdruck \(x^{\frac{\ln(\varepsilon )}{\ln(x)}}\) muss noch vereinfacht werden:

\(\ln(e)=1=\frac{1}{\ln(x)}\cdot \ln(x)=\ln\left(x^{\frac{1}{\ln(x)}} \right)\\\Leftrightarrow e=x^{\frac{1}{\ln(x)}}\)

-------------------------Nebenrechnung Ende-------------------

\(...=x^{\frac{\ln(\varepsilon )}{\ln(x)}}=\Big(x^{\frac{1}{\ln(x)}}\Big)^{\ln(\varepsilon)}=e^{\ln(\varepsilon)}=\varepsilon\). Fertig!

---

Hallo,

Dein Fehler in der ersten Überlegung zur gleichmäßigen Konvergenz ist, dass das Intervall \([R,2^{1/n}]\) für große R oder große n leer ist.

Gruß