Nullvektor im Kern finden

Question

Nullvektor im Kern des durch \( \left(\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right) \rightarrow\left(\begin{array}{l}x+y+z \\ 2 x+3 y+4 z\end{array}\right) \)

gegebenen Vektorhomorphismus \( R^{3} \rightarrow R^{2} \) finden.

Wie findet man denn hier von den Nullvektor?

Comments

Ich verstehe die Frage nicht. Der Nullvektor liegt immer im Kern, da ist nicht zu suchen. Willst du eventuell den kern bestimmen? Den nutze den Gauß-Algorithmus

Answer 1

Der Kern eines Homomorphismus φ : V → W ist die Menge ker ( φ ) = { r ∈ V | φ ( r ) = 0 ∈ W }

Gegeben ist nun φ : R³→R² , ( x , y , z )^T  ↦ ( x + y  +z  , 2 x + 3 y + 4 z ) ^T

Dann ist:

ker ( φ ) = { ( x , y , z ) ^T ∈ R ³ | φ ( x , y , z )T = ( 0 , 0 ) }

Um den Kern zu bestimmen hat man also folgendes Gleichungssystem zu lösen:

x + y + z = 0
2 x + 3 y + 4 z = 0

<=>

z = - x - y
2 x + 3 y + 4 ( - x - y ) = 0

<=>

z = - x - y
- 2 x - y = 0

<=>

z = - x - y
y = - 2 x

<=>

z = - x - (- 2 x ) = x
y = - 2 x

Also:

ker ( φ ) = { ( x , - 2 x , x ) ^T ∈ R ³ }

Wie man sieht, ist für x = 0 der Nullvektor des R ³ im Kern von φ enthalten. Der Kern enthält allerdings nicht ausschließlich den Nullvektor. Daraus folgt, dass die Abbildung φ nicht injektiv ist.