Umkehrfunktion bilden y= -(x-3)² -1, linker Parabelast

Question

Aufgabe:

Umkehrfunktion von f(x)=-(x-3)² -1 ; D= ]-∞ ; 3]  und Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion bilden.

Problem/Ansatz:

Je nach Ansatz kommt bei mir was unterschiedliches raus mein letzter war der:

y = -(x-3)² -1  | +1

y+1 = -(x-3)²  |

-y+1 = (x-3)²  | $\sqrt{}$

$\sqrt{-y+1}$ = x-3  |+3

$\sqrt{-y+1}$ +3 = x

Variabelnwechsel: y= $\sqrt{-x+1}$ +3

W_f-1 = D_f = ]-∞ ; 3]

D_f-1 = W_f = -∞

Comments

Ich meinte natürlich "Variablenwechsel" statt "Vorzeichenwechsel"

Answer 1

y = -(x-3)² -1  | +1

y+1 = -(x-3)² |

-y-1 = (x-3)² | $\sqrt{}$

±$\sqrt{-y - 1}$ = x-3  |+3


±$\sqrt{-y-1}$ +3 = x


x/y vertauschen: y= ±$\sqrt{-x-1}$ +3

Zwei Funktionsäste:

f^-1(x)= $\sqrt{-x-1}$ +3   und g(x)= -$\sqrt{-x-1}$ +3

W(f^-1)= [3,∞[; D(f^-1)= [-1, -∞[

W(g)= ]-∞ ; 3]; D(g)= [-1, -∞[

Answer 2

Text erkannt:

$y=-(x-3)^{2}-1$ mit $D= ] -\infty ; 3 ]$
$x, y$ Tausch:
$x=-(y-3)^{2}-1$
Nach $y$ auflösen:
$(y-3)^{2}=-x-1 \mid \sqrt{ }$
1.) $y=3+\sqrt{-x-1} \rightarrow \rightarrow$ ist nicht die Umkehrfunktion
2.) $y=3-\sqrt{-x-1}$
$D:$
$W:$

Comments

erstmal danke, aber warum ist y = 3+$\sqrt{-x-1}$ nicht die Umkehrfunktion, Ich meine man muss im letzten Schritt doch |+3 machen damit man nach y umformen kann?

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y= 3+$\sqrt{-x-1}$ ist die Umkehrfunktion, wenn f(x)= - (x-3)^2 -1 ; mit D= [3 ; +∞) gilt.

Answer 3

Kritik an deinem Rechenvorgang: An dieser Stelle:

" von -(y+1) = (x-3)^2 | $\sqrt{}$ zu$\sqrt{y+1}$ = x-3 | "

fehlt zu Beginn wohl ein Klammerpaar. Ausserdem musst du eine Fallunterscheidung machen zwischen (y+1) ≥ 0 und (y+1) <0. <p> Habe jetzt nicht weiter nachgeprüft, da du ja inzwischen ja weiter bist.