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Aufgabe:

A ≠ ∅ sei eine endliche Menge und d_1, d_2 seien Metriken auf A.


Problem/Ansatz:

Wie zeige ich, dass d_1 und d_2 äquivalent sind?

von

Hallo,

wie ist denn die Äquivalent von 2 Metriken definiert?

Gruß

Ich weiß. dass zu jeder Metrik d1 eine äquivalente Metrik

$$d_2(x,y) = \frac{d_1(x,y)}{1+d_1(x,y)}$$

gibt, für die gilt

$$d_2(x,y) \leq 1$$

Aber wie arbeite ich damit?

Für die Bearbeitung der Aufgabe müssen wir zunächst wissen wie Äquivalenz von 2 Metriken definiert ist.

Wenn es gibt a,b >0, so dass für alle x,y aus X: a*d1(x,y)≤d2(x,y)≤ b*d1(x,y)

Das wär eine ungewöhnliche und vom allgemeinen Standard abweichende Definition. Daher: Bist Du sicher?

Wenn Du sicher bist, dass das Eure Definition ist, dann beachte:

$$d_2(x,y) \leq b d_1(x,y) \iff \frac{d_2(x,y)}{d_1(x,y)} \leq b$$

Wie hilft jetzt die Endlichkeit von A, um die Existenz eines beeigneten b zu sichern?

Gruß

Falls \( x=y \) ist \( d_1(x,y) = 0 = d_2(x,y) \). Dieser Fall macht also keine Einschränkungen für a und b

Für \( x \neq y \), d.h. \( (x,y) \in A\times A\backslash \Delta_A \) mit \( \Delta_A := \{(x,x) ~|~ x\in A \} \subseteq A \times A \), soll also

$$ a \cdot d_1(x,y) \le d_2(x,y) \le b \cdot d_1(x,y) $$

gelten. Um geeignete Werte zu finden kann man sich z.B. erst einmal überlegen wie groß die Werte von \( d_1 \) und \( d_2 \) überhaupt werde können. Da \( A \) endlich ist auch \( A \times A \) endlich. Insbesondere existieren die Minima- und Maxima:

$$ m_i := \min_{(x,y) \in A\times A\backslash\Delta_A} d_i(x,y) $$

$$ M_i := \max_{(x,y) \in A\times A\backslash\Delta_A} d_i(x,y) $$

Versuche mit diesen geeignete Koeffizienten zu finden.

Das wär eine ungewöhnliche und vom allgemeinen Standard abweichende Definition. Daher: Bist Du sicher?

https://en.wikipedia.org/wiki/Equivalence_of_metrics#Strong_equivalence

"Strong equivalence of two metrics implies topological equivalence". So ungewöhnlich ist das gar nicht.

Das wäre eine schöne Gelegenheit, hier eine philologische Diskussion zur Bedeutung von "ungewöhnlich" loszutreten ;-). Ich habe die fette Warnung geschrieben, weil der erste Kommentar des Fragestellers vermuten lässt, dass ein Fehler in der Vorlesung oder beim Fragesteller vorliegt.

Gruß

1 Antwort

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Hallo

du musst einfach die Ungleichungen, die die Definition sind beweisen. Das geht natürlich nur, wenn d1, d2 konkret gegeben und.

Gruß lul

von 93 k 🚀

Die Aufgabe geht, so wie sie da steht, allgemein für beliebige Metriken.

Gruß Mahtepeter

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