Hi,
Ich lass mal aus Übersichtsgründen den Limes weg. Der gehört aber eigentlich überall hin!
Direkt aus der Formel ergibt sich:
$$\lim_{h\to0} \frac{(x+h)^{-4}-x^{-4}}{h} = \frac{\frac{x^4-(x+h)^4}{x^4(x+h)^4}}{h}$$
$$= \frac{(x^2)^2 - ((x+h)^2)^2}{x^4(x+h)^4\cdot h}$$
Dritte binomische Formel:
$$= \frac{(x^2-(x+h)^2)(x^2+(x+h)^2)}{x^4(x+h)^4\cdot h} = \frac{(x^2-(x+h)^2)(2x^2+2hx+h^2)}{x^4(x+h)^4\cdot h}$$
Beim ersten Faktor nochmals dritten Binomi anwenden:
$$= \frac{(x-(x+h))(x+(x+h))(2x^2+2hx+h^2)}{x^4(x+h)^4\cdot h} $$
$$= \frac{-h\cdot(2x+h)(2x^2+2hx+h^2)}{x^4(x+h)^4\cdot h} $$
Kürzen von h
$$= \frac{-(2x+h)(2x^2+2hx+h^2)}{x^4(x+h)^4}$$
Nun kann völlig unproblematisch der Limes angewendet werden:
$$=\frac{-2x\cdot 2x^2}{x^4\cdot x^4} = \frac{-4x^3}{x^8} = -\frac{4}{x^5}$$
Und das ist genau was rauskommen soll ;).
P.S.: In der letzten Zeile kommt wirklich kein Limes hin, sonst aber nach jedem Gleichheitszeichen.
Grüße
