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Aufgabe:

es geht um folgende Aufgabe:


Welchen Wert muss der Parameter b besitzen, damit die von den Kurven der
Funktionen f(x) = x2 + 3x + 1 und g(x) = x + b eingeschlossene Fläche genau
10 Flächeneinheiten beträgt?


Problem/Ansatz:

Mein Vorgehen war es jetzt die den Schnittpunkt der Funktionen zu berechnen, dieser liegt bei -1.

Nun habe ich den unteren Grenzwert des Integrales, als nächstes Bilde ich das Integral in dem ich f(x)-g(x) berechne.


Daher folgt dieses Integral: ∫-1b x2 + 2x + 1 - b = [ \( \frac{x^3}{3} \) + \( \frac{2x^2}{2} \) + x]

Ausmultipliziert erhalte ich nun folgendes:

\( \frac{b^3}{3} \) + b2 + b + \( \frac{1}{3} \) = 10


Nun habe ich aber absolut keinen Ansatz mehr um b zu lösen.

Klar ich kann noch mit 3 Multiplizieren um den Bruch loszuwerden, allerdings hänge ich dann an den verschiedenen Potenzen.


Da ich noch nicht so viel mit Integralen zu tun hatte, stellen sich mir folgende Fragen:

- Habe ich die Funktion für das Integral aus den beiden Funktionen richtig bestimmt?

- Ist meine Endgleichung korrekt?

- Wie löse ich nun b bei den verschiedenen Potenzen? Bzw. generell was für Möglichkeiten habe ich hier?


Vielen Dank schonmal.

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2 Antworten

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Schnittpunkt der Funktionen zu berechnen

Richtig.

dieser liegt bei -1.

Falsch. Lösungen der Gleichung

        \(x^2 + 3x + 1 = x + b\)

sind \(-1-\sqrt{b}\) und \(-1+\sqrt{b}\).

Löse also die Gleichung

        \(\int\limits_{-1-\sqrt{b}}^{-1+\sqrt{b}}\left(g(x) - f(x)\right)\mathrm{d}x = 10\).

Avatar von 105 k 🚀

Vielen dank euch, die Grenzen sind schlüssig, jedoch wie weiß ich sicher ob die Gerade in diesem Abschnitt überhalb der Funktion liegt?

Es handelt sich um eine nach oben geöffnete Parabel!

ob die Gerade in diesem Abschnitt überhalb der Funktion liegt

Wenn du keinen Bock hast, dir darüber Gedanken zu machen, kannst du Betragsstriche um das Integral packen:

\(\left|\int\limits_{-1-\sqrt{b}}^{-1+\sqrt{b}}\left(g(x) - f(x)\right)\mathrm{d}x\right| = 10\)

einleuchtend. Wie man merkt sind meine Mathekenntnisse etwas eingerostet, habe jetzt nur noch eine Frage.

Wie gehe ich mit dem b im Integral um? Muss ich hierfür x bzw. b substituieren oder wie gehe ich mit den zwei Variablen um? Da ich ja nach b auflösen muss würde es reichen die Grenzwerte in x einzusetzen und b zu belassen? Bzw. muss ich b in der Stammfunktion auch aufleiten?

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Als Lösung von

\( \int \limits_{-\sqrt{b}-1}^{\sqrt{b}-1}\left((x+b)-\left(x^{2}+3 x+1\right)\right) d x =10 \)

erhalte ich

\( b=\left(\frac{15}{2}\right)^{2 / 3} \)

urs urs urs.JPG

Avatar von 43 k

Vielen dank euch, die Grenzen sind schlüssig, jedoch wie weiß ich sicher ob die Gerade in diesem Abschnitt überhalb der Funktion liegt?

Siehe Antwort von Benutzer "abakus" a.a.O. auf dieser Seite auf dieselbe Frage von Dir.

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