Die untenstehende Definition der span-Operation wirkt auf mich etwas umständlich. Angenommen, ich habe in \(V=\R^2\) die Basisvektoren e2 = \(\begin{pmatrix} 0\\1 \end{pmatrix}\) und e1 = \(\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}\), dann lässt sich jeder Vektor v in V darstellen als v = \(\lambda_2 e_2 + \lambda_1 e_1\) mit \(\lambda_1,\lambda_2 \in \R \). Hier muss ich also nicht wie in der Definition unten von der Familienschreibweise und Doppelindizes Gebrauch machen, um eine Linearkombination darzustellen. Gibt es eingängige Beispiele, in denen die Schreibweise mit Doppelindizes und Familienschreibweise mehr Sinn macht?
Wir betrachten einen \( K \) -Vektorraum \( V \) und eine Familie \( \left(v_{i}\right)_{i \in I}, \) von Vektoren \( v_{i} \in V( \) vgl. 2.1 .6\( ) \) Ist \( I=\{1, \ldots, r\}, \) so hat man Vektoren \( v_{1}, \ldots, v_{r} . \) Ein \( v \in V \) heißt Linearkombination von \( v_{1}, \ldots, v_{r}, \) wenn es \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r} \in K \) gibt, sodass
\( v=\lambda_{1} v_{1}+\ldots+\lambda_{r} v_{r} \)
Für allgemeines \( I \) definiert man
\( \operatorname{span}_{K}\left(v_{i}\right)_{i \in I} \)
als die Menge all der \( v \in V, \) die sich aus einer (von \( v \) abhängigen) endlichen Teilfamilie von \( \left(v_{i}\right)_{i \in I} \), linear kombinieren lassen. Um das präzise aufschreiben zu können, benötigt man Doppelindizes: \( \operatorname{Zu} v \in V \) muss es eine Zahl \( r \in \mathbb{N} \) sowie Indizes \( i_{1}, \ldots, i_{r} \in I \) und Skalare \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r} \) geben, sodass
\( v=\lambda_{1} v_{i_{1}}+\ldots+\lambda_{r} v_{i_{r}} \)
Man nennt span \( _{K}\left(v_{i}\right)_{i \in I}, \) den von der Familie aufgespannten Vektorraum.
