Integralrechnung Parameter bestimmen

Question

Aufgabe:

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:

Für jedes t>0 ist eine Funktion f_t gegeben durch f_t(x)= x²—t²

Bestimmen sie A(t) in Abhängigkeit von t. Für welches t beträgt der Flächeninhalt 36 FE.

Problem/Ansatz:

Lösung laut Buch sollte 4/3t³=36 daraus folgt t=3 sein, wobei die Untergrenze –t und die Obergrenze t ist.

Leider kann ich die Lösung nicht ganz nachvollziehen.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Hallo,

berechne zunächst die Nullstellen für die Intervallgrenzen

$x^2-t^2=0\\x^2=t^2\\x=\pm t$

Stammfunktion $F(x)=\frac{1}{3}x^3-t^2x$

$F(t)=\frac{1}{3}t^3-t^3=-\frac{2}{3}t^3\\ F(-t)=\frac{1}{3}(-t)^3+t^3=\frac{2}{3}t^3\\\\ A(t)=F(t)-F(-t)=\big|-\frac{2}{3}t^3-\frac{2}{3}t^3\big|=\frac{4}{3}t^3\\[15pt] \frac{4}{3}t^3=36\\t^3=27\\t=3$

Gruß, Silvia

Comments

Vielen Dank für die anschauliche Antwort. Habe es jetzt verstanden :).

Wünsche dir und den anderen, die hier geantwortet haben ein angenehmes Wochenende.

Answer 2

f(x)= x² - t²

Wegen Symmetrieachse x=0

A = 2*$\int\limits_{0}^{t}$(x^2 - t^2)*dx=2*[ $\frac{1}{3}$x^3-t^2*x] in den angegebenen Grenzen: 2*[ $\frac{1}{3}$*t^3- t^3 ]=2*[-$\frac{2}{3}$ t^3]

36=2*[-$\frac{2}{3}$ t^3]

18=[-$\frac{2}{3}$ t^3]

t³=-27

t=-3

f(x)= x² - (-3)²=x²-9

Answer 3

Wegen Symmetrie zur y-Achse

$\int\limits_{0}^{t}$ (x2 - t2) dx= -$\frac{2t^3}{3}$

-$\frac{2t^3}{3}$=18

t=-3