Berechnen Sie zu den gegebenen Vektoren das Skalarprodukt.

Question

Aufgabe:

Aufgaben zum Skalarprodukt

Problem/Ansatz:

Wir sollten uns selber Videos zum Thema angucken, aber irgendwie haben diese auch nicht ganz weitergeholfen.

Text erkannt:

$8 \%$
Aufgaben zum \ldots..
2.1 Aufgaben zum Skalarprodukt
Aufgabe 1:
Berechnen Sie zu den gegebenen Vektoren das Skalarprodukt.
a) $\vec{a}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) ; \vec{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$;
b) $\vec{a}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 4 \\ 7\end{array}\right) ; \vec{b}=\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 0\end{array}\right)$;
c) $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ -8\end{array}\right) ; \vec{b}=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 0\end{array}\right) ;$
d) $\vec{a}=\left(\begin{array}{c}15 \\ 22 \\ -2\end{array}\right) ; \vec{b}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ -8\end{array}\right)$
$\underline{\text { Aufgabe } 2:}$ Berechnen Sie den jeweiligen Winkel, der von den Vektoren eingeschlossen wird.
a) $\vec{a}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right) ; \vec{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$
b) $\vec{a}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 6\end{array}\right) ; \vec{b}=\left(\begin{array}{l}2 \\ 3 \\ 0\end{array}\right)$
c) $\vec{a}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) ; \vec{b}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 3\end{array}\right)$
2.2 Aufgaben zum Vektorprodukt
1.0 Berechnen Sie die folgenden Vektorprodukte.
$1.1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \quad 1.2\left(\begin{array}{c}1 \\ -3 \\ 2\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}-2 \\ 6 \\ -4\end{array}\right) \quad 1.3\left(\begin{array}{c}3 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \times\left(\begin{array}{c}7 \\ 4 \\ -1\end{array}\right)$

Answer 1

Skalarprodukt

        $\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_2\end{pmatrix} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

Beispiel.

        $\begin{aligned}&\begin{pmatrix}2\\-3\\-5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\-6\\7\end{pmatrix}\\ =\,& 2\cdot 4 + (-3)\cdot (-6) + (-5)\cdot 7\\ =\,& 8 + 18 - 35 = -9\end{aligned}$

Vektorprodukt

        $\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3-b_2a_3\\a_3b_1-b_3a_1\\a_1b_2-b_1a_2\end{pmatrix}$

Beispiel.

        $\begin{aligned}&\begin{pmatrix}2\\-3\\-5\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}4\\-6\\7\end{pmatrix}\\ =&\begin{pmatrix}-3\cdot7-(-6)\cdot(-5)\\-5\cdot4-7\cdot2\\2\cdot(-6)-4\cdot(-3)\end{pmatrix}\\=&\begin{pmatrix}-51\\-34\\0\end{pmatrix}\end{aligned}$

Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$

        $\begin{aligned}\alpha = \cos^{-1}\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}\end{aligned}$

Beispiel.

Winkel zwischen den Vektoren

        $\begin{pmatrix}2\\-3\\-5\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}4\\-6\\7\end{pmatrix}$

ist

        $\begin{aligned} & \cos^{-1}\frac{\begin{pmatrix}2\\ -3\\ -5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\ -6\\ 7 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\ -3\\ -5 \end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}4\\ -6\\ 7 \end{pmatrix}\right|}\\ =\, & \cos^{-1}\frac{-9}{\sqrt{2^{2}+\left(-3\right)^{2}+\left(-5\right)^{2}}\cdot\sqrt{4^{2}+\left(-6\right)^{2}+7^{2}}}\\ =\, & \cos^{-1}\frac{-9}{\sqrt{38}\cdot\sqrt{101}}\\ \approx\, & 98,35{^\circ} \end{aligned}$

Comments

Habe alles jetzt verstanden, äußer wie man den Winkel berechnet. Da habe ich noch schwierigkeiten es zu verstehen.

Gruß Arthur

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Kannst du das genauer erläutern? Kennst du die Formel für den Betrag (a.k.a die Länge) eines Vektors?

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Die Formel kenne ich nicht und ich habe nicht genau verstanden, was man genau in den Taschenrechner eingeben muss um auf das Ergebnis zu kommen.

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Der Betrag $\left|\vec{v}\right|$ eines Vektors

        $\vec{v} = \begin{pmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{pmatrix}$

ist

        $\left|\vec{v}\right| = \sqrt{v_1^2 + v_3^2 + v_3^2}$.

Beispiel.

        $\left|\begin{pmatrix}3\\12\\4\end{pmatrix}\right| = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{169} = 13$.

Anschaulich ist $\left|\vec{v}\right|$ der Abstand des Punktes $\left(v_1|v_2|v_3\right)$ zum Ursprung. Das kann man sich mit Pythagoras klar machen, indem man in einem Quader mit Seitenlängen 3, 12 und 4 die Länge der Raumdiagonalen berechnet.

was man genau in den Taschenrechner eingeben muss um auf das Ergebnis zu kommen.

Es gibt Taschenrechner, in die du

        $\cos^{-1}\frac{\begin{pmatrix}2\\ -3\\ -5 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}4\\ -6\\ 7 \end{pmatrix}}{\left|\begin{pmatrix}2\\ -3\\ -5 \end{pmatrix}\right|\cdot\left|\begin{pmatrix}4\\ -6\\ 7 \end{pmatrix}\right|}$

eintippen kannst. Aber zumindest

        $\cos^{-1}\frac{-9}{\sqrt{2^{2}+\left(-3\right)^{2}+\left(-5\right)^{2}}\cdot\sqrt{4^{2}+\left(-6\right)^{2}+7^{2}}}$

sollte jeder Taschenrechner verstehen.