Die Folge auf Konvergenz kontrollieren.

Question

Kann ich das Löschen??? Habe große Rechenfehler...

Aufgabe: Eine Folge auf Konvergenz kontrollieren.

an = $$\frac{3n-2}{2n+3}$$ 

a = $$\frac{3}{2}$$

Mit Epsilon beweisen (Sei ε > 0)

Problem/Ansatz:

\( \lim\limits_{x\to\infty} \)

\(<=>  \frac{3n-2}{2n+3} - \frac{3}{2}  < ε\). (soll eig. noch Betrag Striche rum)

\(<=>  \frac{3n+11}{2n+3}  < ε\). (habe ich umgeformt und Betrag weg und das bekommen.)

Jetzt nach Epsilon umformen. (falls man das jetzt macht)

\(<=>  \frac{3ε+11}{2ε} \).

Lösung: Wähle n0 = n0(ε) >\(  \frac{3ε+11}{2ε} \). Dann gilt Betrag an - a Betrag = \(  \frac{3n-2}{2n+3} - \frac{3}{2}\leq \frac{3n0+11}{2n0} <ε \).

Jetzt ist meine Frage, ob mein Vorgehen in die richtige Richtung geht, oder was ich ganz anders machen müsste um auf die richtige Lösung zu kommen.

Comments

Nach meinen Berechnungen ist \(\left\lvert\dfrac{3n-2}{2n+3}-\dfrac32\right\rvert=\dfrac{13}{4n+6}\).

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Gut, das habe ich beim erneuten Berechnen auch heraus bekommen.

Wie geht man dann weiter vor? Man muss ja nach Epsilon umformen.

\(\dfrac{13}{4n+6}<ε\)

= \(\dfrac{-24ε+13}{4ε}\). (oder habe ich mich schon wieder verrechnet?)

Answer 1

Hallo:-)

In der Regel interessiert man sich bei solchen Konvergenzbeweisen nicht für die explizite Gestalt von \(n_0(\varepsilon)\), sondern für die Existenz. \(n_0(\varepsilon)\) ist eher ein Ergebnis der geschickten Wahl, um den Konvergenzbeweis führen zu können. Das soll heißen, dass dein \(n_0(\varepsilon)\) nicht direkt eine Umformung von deiner Ausgangsfolge sein muss (und in der Regel auch schwer möglich ist; Gleichungen können beliebig kompliziert werden...).

Man formt auch besser nicht auf beiden Seiten um, da es unter Umständen zu Fehlern in der Äquivalenz kommen kann (Quadrieren zb). Es ist daher besser, wirklich den Ausdruck von einer Seite zur anderen Seite umzuformen bzw. abzuschätzen:

Sei \(\varepsilon>0\) beliebig und wähle \(n_0(\varepsilon)\in \mathbb{N}\) mit \(n_0(\varepsilon)\ \text{bla bla bla}\) (Ich sag gleich noch was dazu).

Dann gilt für alle \(n\geq n_0(\varepsilon)\):

\(\begin{aligned}\left|\frac{3n-2}{2n+3}-\frac{3}{2} \right|&=\left|\frac{2\cdot (3n-2)-3\cdot (2n+3)}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{6n-4-6n-9}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{-13}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{13}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\frac{13}{2\cdot (2n+3)}\\[15pt]&\leq \frac{13}{4n}\\[15pt]&\leq \frac{13}{n}\\[15pt]&\stackrel{n\geq n_0(\varepsilon)}{\leq} \frac{13}{n_0(\varepsilon)}\stackrel{!}{<} \varepsilon \end{aligned}\)

Nun zurück zu ,,bla bla bla". Ich will den Fehler \(\left|\frac{3n-2}{2n+3}-\frac{3}{2} \right|\) beliebig klein bekommen. Jetzt schaue ich mir die letzte Ungleichung an: \(\frac{13}{n_0(\varepsilon)}\stackrel{!}{<} \varepsilon\). Also muss \(\frac{13}{\varepsilon}< n_0(\varepsilon)\) gelten. Das war bis jetzt nur Schmierarbeit. Der finale Beweis lautet dann:

Sei \(\varepsilon>0\) beliebig und wähle \(n_0(\varepsilon)\in \mathbb{N}\) mit \(\frac{13}{\varepsilon}< n_0(\varepsilon)\). Dann gilt für alle \(n\geq n_0(\varepsilon)\):

\(\begin{aligned}\left|\frac{3n-2}{2n+3}-\frac{3}{2} \right|&=\left|\frac{2\cdot (3n-2)-3\cdot (2n+3)}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{6n-4-6n-9}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{-13}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\left|\frac{13}{2\cdot (2n+3)}\right|\\[15pt]&=\frac{13}{2\cdot (2n+3)}\\[15pt]&\leq \frac{13}{4n}\\[15pt]&\leq \frac{13}{n}\\[15pt]&\stackrel{n\geq n_0(\varepsilon)}{\leq} \frac{13}{n_0(\varepsilon)}\stackrel{\frac{13}{\varepsilon}< n_0(\varepsilon)}{<} \frac{13}{\frac{13}{\varepsilon}}=\varepsilon. \end{aligned}\)

Comments

Klasse.

So eine tolle, ausführliche Erklärung habe ich mal gebraucht. Danke, dass du so viel Zeit investiert hast, für die gute Antwort.

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Das freut mich. Führe dir auch jetzt nochmal die Definition zur Konvergenz vor Augen, wie ich sie in der Reinschrift angewandt habe. Die Definition sagt einem, was formal gezeigt werden muss.