Hallo,
nach Deiner Beschreibung müsste die Funktion so aussehen:
~plot~ (-3x^3-18x^2-27x+100)/25;{0|4};{2|-2};[[-8|5|-3|7]];x=-1;x=-3 ~plot~
Die allgemeine Form einer kubischen Funktion nebst Ableitung ist$$f(x) = ax^3+bx^2+cx+d \\ f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$Du kannst jetzt das, was gegeben ist, dort einsetzen und bekommst ein Gleichungssystem mit vier Unbekannten:$$\begin{aligned} f(2) &= -2 \quad & (-2)^3a + (-2)^2b - 2c + d &= -2\\ f(0) &= 4 & 0a + 0b + 0 c + d &= 4 \\ f'(-3) &= 0 & 3(-3)^2 a + 2(-3)b + c &= 0 \\ f'(-1) &= 0 & 3(-1)^2 a + 2(-1)b + c &= 0\end{aligned}$$aus der zweiten Gleichung folgt natürlich gleich \(d=4\). Es bleiben dann noch drei Unbekannte über.
Bei Aufgabe dieser Art ist immer zu überlegen, ob man es nicht geschickter machen kann. Hier sind die X-Werte beider Extremstellen gegeben. Diese Extremstellen sind Nullstellen der 1.Ableitung. Sind beide gegeben, kann man die 1.Ableitung bis auf einen Faktor bereits hinschreiben:$$\begin{aligned} f'(x) &= 3a(x+1)(x+3) \\ &= a(3x^2 + 12x + 9) \\ f(x)&= a(x^3 + 6x^2 + 9x) + d \\ \end{aligned}$$und dann habe ich es auch gleich aufgeleitet und wegen \(f(0)=4\) wissen wir schon, dass \(d=4\) ist. Dann bleibt nur noch der Punkt \((2|-2)\). Einsetzen gibt:$$\begin{aligned}f(x=2)&= a(2^3 + 6\cdot 2^2 + 9\cdot 2) + 4 = -2 &&|\, -4 \\ -6 &= a \cdot 50 &&|\, \div 50 \\ \implies a &= - \frac 3{25}\\ \end{aligned}$$Also lautet die gesuchte Funktion (s. Graph)$$f(x) = - \frac 3{25}(x^3 + 6x^2 + 9x) + 4 \\ \phantom{f(x)} = -\frac 3{25}x^3 - \frac{18}{25}x^2 - \frac{27}{25} x + 4$$Gruß Werner
