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Aufgabe:

Berechnen Sie die unbestimmte Integrale:

a) ∫ xdx

b) ∫ (3x^2+5x-4)dx

c) ∫ 1 dx

d) ∫ (2x^3-7x^2)dx


Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären wie das geht ?

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Aloha :)

Ableiten und Integrieren sind quasi Umkehrungen voneinander. Beim Ableiten von \(x^n\) holst du den Exponenten als Faktor nach vorne und verminderst anschließend den Exponenten um \(1\). Beim Integrieren machst du das in umgekehrter Reihenfolge rückgängig. Du erhöhst zuerst den Exponenten um \(1\) und dividierst dann durch den neuen Exponenten:$$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}\quad;\quad \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\text{const}$$Ein unbestimmtes Integral ist allerdings nur bis auf eine Konstante eindeutig festgelegt, weil die Ableitung einer Konstanten gleich null ist.

$$I_a=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+\text{const}$$$$I_b=\int (3x^2+5x-4)\,dx=3\cdot\frac{x^3}{3}+5\cdot\frac{x^2}{2}-4\cdot\frac{x^1}{1}+\text{const}=x^3+\frac{5}{2}x^2-4x+\text{const}$$$$I_c=\int1\,dx=\int x^0\,dx=\frac{x^1}{1}+\text{const}=x+\text{const}$$$$I_d=\int(2x^3-7x^2)dx=2\cdot\frac{x^4}{4}-7\cdot\frac{x^3}{3}+\text{const}=\frac{x^4}{2}-\frac{7}{3}x^3+\text{const}$$

Avatar von 148 k 🚀
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Du machst nichts anderes als bei der vorherigen Aufgabe, denn \(\int f(x) \;dx = F(x) + c\).

Bilde die Stammfunktion und nenne die Konstante c:

\(\int \limits x dx =0,5x^2+c\)

Avatar von 40 k

Sollte ich bei der b)

Potenzregel, Faktorregel oder Summenregel anwenden ?

Alle drei und zwar in der umgekehrten Reihenfolge.

Ich würde Potenz- und Summenregel verwenden, denn einen Faktor sehe ich nicht. Betrachte jeden Summanden für sich alleine und bilde davon F.

F(x) = x^3+2,5x^2-4x+c

Wäre das so richtig ?

Ja, sehr gut, das stimmt.

Okay vielen Dank :)

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