Berechnen Sie die unbestimmte Integrale

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die unbestimmte Integrale:

a) ∫ xdx

b) ∫ (3x²+5x-4)dx

c) ∫ 1 dx

d) ∫ (2x³-7x²)dx

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären wie das geht ?

Answer 1

Aloha :)

Ableiten und Integrieren sind quasi Umkehrungen voneinander. Beim Ableiten von $x^n$ holst du den Exponenten als Faktor nach vorne und verminderst anschließend den Exponenten um $1$. Beim Integrieren machst du das in umgekehrter Reihenfolge rückgängig. Du erhöhst zuerst den Exponenten um $1$ und dividierst dann durch den neuen Exponenten:$$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}\quad;\quad \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\text{const}$$Ein unbestimmtes Integral ist allerdings nur bis auf eine Konstante eindeutig festgelegt, weil die Ableitung einer Konstanten gleich null ist.

$$I_a=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+\text{const}$$$$I_b=\int (3x^2+5x-4)\,dx=3\cdot\frac{x^3}{3}+5\cdot\frac{x^2}{2}-4\cdot\frac{x^1}{1}+\text{const}=x^3+\frac{5}{2}x^2-4x+\text{const}$$$$I_c=\int1\,dx=\int x^0\,dx=\frac{x^1}{1}+\text{const}=x+\text{const}$$$$I_d=\int(2x^3-7x^2)dx=2\cdot\frac{x^4}{4}-7\cdot\frac{x^3}{3}+\text{const}=\frac{x^4}{2}-\frac{7}{3}x^3+\text{const}$$

Answer 2

Du machst nichts anderes als bei der vorherigen Aufgabe, denn $\int f(x) \;dx = F(x) + c$.

Bilde die Stammfunktion und nenne die Konstante c:

$\int \limits x dx =0,5x^2+c$

Comments

Sollte ich bei der b)

Potenzregel, Faktorregel oder Summenregel anwenden ?

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Alle drei und zwar in der umgekehrten Reihenfolge.

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Ich würde Potenz- und Summenregel verwenden, denn einen Faktor sehe ich nicht. Betrachte jeden Summanden für sich alleine und bilde davon F.

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F(x) = x³+2,5x²-4x+c

Wäre das so richtig ?

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Ja, sehr gut, das stimmt.

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Okay vielen Dank :)