$$ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} $$
Kannst du noch mehr dazu beitragen als die Aufgabe zu notieren?
"Bestimmen Sie: " lautet die Aufgabe.
Ich habe versucht die Aufgabe zu lösen, indem ich die Wurzel zu einer 1/2 potenz umforme usw. aber ich kam nicht auf das richtige Ergebnis. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Solche Umformungen führen meiner Meinung nach nicht weiter. Vielleicht hilft dies: $$ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{\dfrac{2^{n}+4^{n}}{4^{n-1}}}$$
Wenn schon, dann \(\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{\dfrac{2^{n}+4^{n}}{4^{n-2}}}\)
"Wenn schon dann..."
Sehe ich nicht so.
$$\frac{\sqrt{2^n + 4^n }}{2^{n-1}}=\frac{\sqrt{2^n*(1+2^n)}}{2^{n-1}} =2*\frac{\sqrt{2^n*(1+2^n)}}{2^{n}} =2*\sqrt{\frac{2^n*(1+2^n)}{2^{n}*2^{n}}}$$Kürzen gibt $$=2*\sqrt{\frac{(1+2^n)}{2^{n}}}$$Geht also gegen 2.
Schreibe \(\dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} \) als \(\dfrac{\sqrt{4^n}\sqrt{0,5^{n}+1}}{2^{n-1}} \)=\(\dfrac{2^n\sqrt{0,5^{n}+1}}{2^{n-1}} \)
Vielen Dank. Leider verstehe ich nicht, wie ich mit diesem Resultat weiter arbeiten kann.
ich habe im Zähler 2n und im Nenner 2n-1.
Lässt sich das irgendwie kürzen?
Natürliuch lässt sich das kürzen!
Das sind in Zähler und Nenner jede Menge Faktoren "2". (Im Zähler ist es einer mehr.)
