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Aufgabe:


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Text erkannt:

$$ a_{n}:=1+\sum \limits_{k=0}^{n-1}(n-k) a_{k} \text { für } n \in \mathbb{N}_{0} $$
rekursiv definierte Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) und die durch
$$ s_{n}:=\sum \limits_{k=0}^{n-1} a_{k} \text { für } n \in \mathbb{N}_{0} $$
definierte Folge \( \left(s_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) ihrer Partialsummen. Weiter sei \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}_{0}} \) die durch
$$ f_{0}:=0, \quad f_{1}:=1, \quad f_{n+1}:=f_{n}+f_{n-1} \quad \text { für } n \in \mathbb{N} $$
rekursiv definierte Folge der Fibonacci-Zahlen. Beweisen Sie für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) :
$$ a_{n}=f_{2 n+1} \text { und } s_{n}=f_{2 n} $$


Ich muss die ganz unten stehende Gleichung beweisen. Bzw:


§         an = f 2n+1                      und                           sn = f 2n



Problem/Ansatz:


Ich schaffe es leider nicht mit dem Vollständigen Induktion , wo mache ich einen Fehler, dass weiß ich auch nicht. Kann jemand bitte mir dabei helfen. Oder eine Lösung wäre auch sehr lieb...


Vielen Dank

von

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Hallo,

ich denke, der besondere Trick liegt darin, diese Summe in zwei Teile aufzubrechen. Es ist doch$$a_{n}=1+\sum \limits_{k=0}^{n-1}(n-k) a_{k} \quad \text { für } n \in \mathbb{N}_{0} \\ \phantom{a_{n}} = 1 + n\sum_{k=0}^{n-1} a_k \space - \sum_{k=0}^{n-1} k a_k$$und damit kannst Du nun den Ausdruck für \(a_{n+1}\) wie folgt umformen$$\begin{aligned} a_{n+1} &= 1 + (n+1)\sum_{k=0}^{n} a_k \space - \sum_{k=0}^{n} k a_k\\ &= 1 + n\sum_{k=0}^{n} a_k \space + \sum_{k=0}^{n} a_k \space - \sum_{k=0}^{n-1} k a_k \space - na_n \\ &= 1 + n\left( \sum_{k=0}^{n-1} a_k \space + a_n\right)\space - \sum_{k=0}^{n-1} k a_k \space - na_n + \sum_{k=0}^{n} a_k \\ &= 1 +  n\sum_{k=0}^{n-1} a_k \space - \sum_{k=0}^{n-1} k a_k \space + \sum_{k=0}^{n} a_k \\ &= a_n + \sum_{k=0}^{n} a_k \end{aligned}$$Bevor es weitergeht müssen wir zunächst mal einen genaueren Blick auf \(f_{2n+1}\) werfen. Allgemein gilt$$f_{n+1} = f_n + f_{n-1} $$ und somit auch $$f_{2n+1} = f_{2n} + f_{2(n-1)+1}$$das versuche ich nun so darzustellen, dass nur noch Terme der Form \(f_{2k+1}\) mit \(k \in \mathbb N_0\) darin vorkommen$$f_{2n+1} = f_{2n} + f_{2(n-1)+1} = 2f_{2(n-1)+1} + f_{2(n-1)} \\ f_{2(n-1)+1} = f_{2(n-1)} + f_{2(n-2)+1} \implies f_{2(n-1)} = f_{2(n-1)+1} - f_{2(n-2)+1} \\ \implies f_{2n+1} = 3f_{2(n-1)+1} - f_{2(n-2)+1} \\$$Ich nenne \(f_{2n+1}=g_n\), \(g_n\) ist jede zweite Fibonacci-Zahl, dann kann man festhalten:$$g_{n} = 3g_{n-1} - g_{n-2}$$Weiter möchte ich zeigen, dass$$g_{n+1} = g_{n} + \sum_{k=0}^{n} g_k$$Wieder durch Beweis mit Induktion. Der Induktionsanfang$$g_0 = f_1 = 1 \\ g_ 1 = f_3 = 2 \\ n=1: \quad g_{1+1} = g_1 + \sum_{k=0}^1 = 2 + 1 + 2 = 5\quad \checkmark$$ist erfüllt, da lt. Rekursionsvorschrift \(g_2 = 3 \cdot 2 - 1 = 5\) ist. Nun der Induktionsschritt, d.h. den Übergang von \(n\) nach \(n+1\)$$\begin{aligned} g_{n+2} &=  3 g_{n+1} - g_{n}\\ &= 2g_{n+1} +  g_{n} + \sum_{k=0}^{n} g_k - g_n \\ &= 2g_{n+1} + \sum_{k=0}^{n} g_k\\ &= g_{n+1} + \underbrace{g_{n+1} + \sum_{k=0}^{n} g_k}_{=\sum_{k=0}^{n+1} g_k}\\ &= g_{n+1} + \sum_{k=0}^{n+1} g_k \\ &\text{q.e.d.} \end{aligned} $$und damit sind wir mit dem ersten Teil schon fertig. Es ist \(a_0=g_0\) und \(a_1=g_1\). Und für beide gilt$$a_{n+1} = a_n + \sum_{k=0}^n a_k \quad \text{bzw.} \quad g_{n+1} = g_n + \sum_{k=0}^n g_k$$D.h. \(a_k=g_k = f_{2k+1}\) für \(k \in \mathbb N_0\), die Folgen sind identisch.


Die Partialsumme ist definiert durch $$s_n = \sum_{k=0}^{n-1} a_k$$Aus der Rekursionsvorschrift \(g_{n} = g_{n-1} + \sum_{k=0}^{n-1} g_k = g_{n-1} + s_n\) folgt sofort$$s_n = g_{n} - g_{n-1} = f_{2n+1} - f_{2n-1}$$und wegen$$f_{2n+1} = f_{2n} + f_{2n-1}$$ist$$s_n = f_{2n+1} - f_{2n-1} \\ \phantom{s_n} = f_{2n} + f_{2n-1} - f_{2n-1} \\ \phantom{s_n} = f_{2n} $$Gruß Werner

von 33 k

Ja,das habe ich verstanden nur ich komme nicht darauf wie an=f2n+1     und

sn=f2n ist ?


Troztdem vielen Dank

... nur ich komme nicht darauf ..

ich habe die Antwort jetzt vervollständigt. Falls Du noch Fragen hast, so melde Dich bitte.

Kannst du mir bitte bei meiner neusten Frage helfen(komplexer Widerstand)? :)

Kannst du mir bitte bei meiner neusten Frage helfen(komplexer Widerstand)? :)

brauchst Du da noch Support oder schaffst Du den Weg, den hightech Dir vorgeschlagen hat, alleine? Falls nicht, so beschreibe dort bitte wo Du nicht weiter kommst.

Hab den Kommentar hinzugefügt.

Wäre nett, wenn du mir dabei helfen könntest :)

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klappt doch auch ohne mich, wie man sieht! Und es gilt immer: nachfragen, wenn noch Fragen offen sind. Und möglichst ganz konkret, das steigert die Wahrscheinlichkeit einer Antwort von wem auch immer ungemein.

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