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Eine massive Halbkugel hat das Volumen:

VHk = 144πe3

Aus ihr wird ein Kegel herausgearbeitet (siehe Achsenschnitt).

Zeigen Sie ohne Verwendung gerundetet Werte, dass für die Oberfläche des Restkörpers gilt:

O = 3πe2 (2√3 + 33) 

 

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Volumen Halbkugel:  V=144πe3V= 144πe^3

Oberfläche Restkörper:  O=3πe2(23+33) O = 3πe^2 (2\sqrt{3}+33)

Oberfläche Kegel: O=r2π+rπsO = r^2 \cdot π + r \cdot π \cdot s

Radius Kegel:

tan(30°)=e3r\tan(30°)= \frac{ e\sqrt{3}}{r}   →          r=e3133=3er=\frac{e\sqrt{3}}{\frac{1}{3}\sqrt{3}}=3e

s2=h2+r2s^2=h^2+r^2     →   s=3e2+9e2=12e2=2e3s=\sqrt{3e^2+9e^2}=\sqrt{12e^2}=2e\sqrt{3}

Oberfläche Kegel: O=9e2π+3eπ2e3=9e2π+6e2π3=3e2π(3+23)O =9e^2 π+ 3e \cdot π \cdot 2e\sqrt{3}=9e^2 π+ 6e ^2\cdot π \cdot \sqrt{3}\\=3e^2π( 3+2\sqrt{3})

Volumen Kugel: V=43R3πV=\frac{4}{3}R^3π

Volumen Halbkugel: V=23R3π=144πe3V=\frac{2}{3}R^3π=144πe^3

Auflösen nach R:

 13R3=72e3\frac{1}{3}R^3=72e^3   →  R3=372e3=278e3R^3=3\cdot 72e^3=27\cdot 8e^3  → R=6eR=6e


Oberfläche Halbkugel: O=3πR2=3π36e2=108πe2O=3πR^2 =3π\cdot 36e^2=108πe^2

Oberfläche Halbkugel-Oberfläche Kegel:

Oberfläche Restkörper:

108πe23e2π(3+23)=3e2π(36(3+23)=3e2π(3323)108πe^2-3e^2π( 3+2\sqrt{3})=3e^2π(36-( 3+2\sqrt{3})=\green{3e^2π(33-2\sqrt{3})}

Leider ist die Formel für die Oberfläche des Restkörpers nicht richtig. Richtige Vorgehensweise:

Oberfläche Halbkugel minus Grundfläche Kegel plus Mantel des Kegels ergibt die Oberfläche des Restkörpers.


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