Summe mit Hilfe eines Summerzeichens berechnen.

Question

Wie kann ich das hier lösen:

Berechnen Sie für \( n \geq 2 \) die Summe \( \sum \limits_{k=2}^{n}\left(2 k+4^{(k-2)}+1\right) \)

Mein Plan war es die Geometrische Summenformel zu nutzen:

\( \sum \limits_{k=0}^{n} x^{k}=\frac{x^{n+1}-1}{x-1} \)

Aber nach dem einsetzen komme ich auch nicht weiter.

Answer 1

Aloha :)

In dieser Summe hast du 3 Klassiker, von denen du die geometrische Reihe schon selbst entdeckt hast:

$$S=\sum\limits_{k=2}^n\left(2k+4^{k-2}+1\right)=\sum\limits_{k=2}^n2k+\sum\limits_{k=2}^n4^{k-2}+\sum\limits_{k=2}^n12=\sum\limits_{k=2}^nk+\sum\limits_{k=0}^{n-2}4^k+\sum\limits_{k=2}^n1$$$$\phantom{S}=2\left(\sum\limits_{k=1}^nk-1\right)+\sum\limits_{k=0}^{n-2}4^k+\sum\limits_{k=2}^n1$$

Die erste Summe ist die bekannte Gauß-Formel:$$\sum\limits_{k=1}^nk=\frac{n(n+1)}{2}$$Die zweite Summe ist die geometrische Reihe:$$\sum\limits_{k=0}^{n-2}4^k=\frac{1-4^{n-1}}{1-4}=\frac{4^{n-1}-1}{4-1}=\frac{4^{n-1}-1}{3}$$In der dritten Summe wird \((n-1)\)-mal die \(1\) addiert:$$\sum\limits_{k=2}^n1=n-1$$

Damit lautet dann die Summe:

$$S=2\left(\frac{n(n+1)}{2}-1\right)+\frac{4^{n-1}-1}{3}+(n-1)=n^2+n-2+\frac{1}{3}4^{n-1}-\frac{1}{3}+n-1$$$$\phantom{S}=n^2+2n+\frac{4^n}{12}-\frac{10}{3}$$

Comments

Danke Tschakabumba!

Answer 2

Mache drei Summen daraus

\( \sum \limits_{k=2}^{n}\left(2 k+4^{(k-2)}+1\right) \)

\( =\sum \limits_{k=2}^{n}(2 k) \)+ \( \sum \limits_{k=2}^{n}4^{(k-2)} \)+ \( \sum \limits_{k=2}^{n}1\)

\( =2\sum \limits_{k=2}^{n} k \)+ \( \sum \limits_{k=0}^{n-2}4^{k} \)+ \( \sum \limits_{k=2}^{n}1\)

Dann sind die einzelnen Summen ja einfach.

Comments

Kannst du mir das für die erste Summe vor machen?

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Die drei sind recht unterschiedlich.

Die erste Summe ( ohne den Faktor 2)

ist ja quasi 2+3+4+5+6+...+(n-1)+n

wenn es bei 1 beginnen würde, wäre es nach

der bekannten Formel n*(n+1) / 2 , da es bei 2 beginnt

ist es eben einer weniger, also n*(n+1) / 2    -  1.

Dann noch den Faktor 2 berücksichtigen gibt n*(n+1)    - 2.

Die zweite ist die geometrische Reihe mit q=4 , da hattest

du die Formel ja schon bei der Frage.

Das dritte sind n-1 Summanden vom Wert 1, also ist das n-1.