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Aufgabe:

Von einem Trapez ABCD A B C D mit den Parallelseiten AB \overline{A B} und CD \overline{C D} kennt man die Winkel β=ABC=63 \beta=\angle A B C=63^{\circ} und δ=CDA=132 \delta=\angle C D A=132^{\circ} sowie die Lănge der Seiten AB=85 mm \overline{A B}=85 \mathrm{~mm} und BC=51 mm \overline{B C}=51 \mathrm{~mm} .

Berechnen Sie die Länge der fehlenden Seiten AD \overline{A D} und CD \overline{C D} sowie die Länge der Diagonale
AC! A C !


Problem/Ansatz: Lösen Sie bitte diese Aufgabe mit Erklärung

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Kannst du mit dieser Skizze etwas anfangen?

blob.png

Hallo

das sollte helfen, wenn man bei B 63° statt 36° denkt.

lul

Zahlendreher - tut mir leid.

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo,

eine Skizze ist immer wichtig! (Maße in cm\text{cm})

blob.png

berechne zunächst die Höhe hh des Trapez. Im Dreieck BCQ\triangle BCQ giltsin(β)=hBC\sin(\beta) = \frac{h}{|BC|}und daraus folgth=BCsin(β)=51mmsin(63°)45,4mmh = |BC| \sin(\beta) = 51\,\text{mm} \cdot \sin(63°) \approx 45,4\,\text{mm}Im Dreieck APD\triangle APD giltsin(α)=hAD\sin(\alpha) = \frac{h}{|AD|}und α\alpha (gelb) ist der Nebenwinkel von δ\delta (blau). Folglich ist α=180°δ\alpha = 180°-\delta, aber da allgemein gilt sin(x)=sin(180°x)\sin(x) = \sin(180°-x), ist auchsin(δ)=hAD    AD=hsin(δ)45,4mmsin(132°)61,1mm\sin(\delta) = \frac{h}{|AD|} \\\implies |AD| = \frac{h}{\sin(\delta)} \approx \frac{45,4\,\text{mm}}{\sin(132°)} \approx 61,1\,\text{mm}Um die Seite CD|CD| zu berechnen, macht man sich zunutze, dassCD=ABBQAP|CD| = |AB| - |BQ| - |AP|und mitBQ=BCcos(β)AP=ADcos(α)=ADcos(δ)|BQ| = |BC| \cdot \cos(\beta) \\ |AP| = |AD| \cos(\alpha) = - |AD| \cos(\delta)kommt man dann zu CD20,9mm|CD| \approx 20,9\,\text{mm}.

Die Länge der Diagonale AC|AC| liefert PythagorasAC2=AQ2+h2    AC76,7mm|AC|^2 = |AQ|^2 + h^2 \implies |AC| \approx 76,7\,\text{mm}

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