Vollständige Induktion Summenformel verzweifelt

Question

(a) Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion die sog. geometrische Summenformel: Es gilt
$$ \sum \limits_{k=0}^{n} q^{k}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q} $$
für \( q \neq 1 \) und alle \( n \in \mathbb{N} \).
(b) Welche Formel kann für die Summe angegeben werden, wenn \( q=1 \) gilt? ( Tipp: Hier benötigen Sie keine vollständige Induktion)

Hallo. Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Aloha :)

Wir sollen zeigen:$$\sum\limits_{k=0}^nq^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad;\quad q\ne1$$

Verankerung bei \(n=0\):$$\sum\limits_{k=0}^nq^k=\sum\limits_{k=0}^0q^k=q^0=1=\frac{1-q}{1-q}=\frac{1-q^{0+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad\checkmark$$

Induktionsschritt \(n\to n+1\):

$$\sum\limits_{k=0}^{n+1}q^k=q^{n+1}+\sum\limits_{k=0}^{n}q^k\stackrel{\text{(Ind.Vor.)}}=q^{n+1}+\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{q^{n+1}(1-q)}{1-q}+\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$$$$\phantom{\sum\limits_{k=0}^{n+1}q^k}=\frac{q^{n+1}-q^{n+2}+1-q^{n+1}}{1-q}=\frac{1-q^{n+2}}{1-q}=\frac{1-q^{(n+1)+1}}{1-q}\quad\checkmark$$

Für \(q=1\) lautet die Summenformel:$$\sum\limits_{k=0}^n1^k=\sum\limits_{k=0}^n1=n+1$$