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Aufgabe:

In der x1/x2-Ebene eines rechtwinkligen Koordinatensystems liegenden Fußpunkte von vier gleich hohen und lotrecht stehenden Pfosten der Höhe h = 5 m haben die Koordinaten P1(3|5|0), P2(–5|3|0), P3(–3|–5|0) und P4(5|–3|0).

An den Pfostenspitzen wird eine elastische Plane befestigt. Damit Regenwasser besser ablaufen kann und sich nicht in der Mitte der Plane sammelt, wird eine gerade, starre Stange so von oben auf die Plane gelegt, dass eine V-förmige Dach- form entsteht. Die Stangenenden werden durch zwei am Boden befestigte Seile nach unten gezogen und befinden sich dadurch in den Punkten Z1(–1|4|4) und Z2(1|– 4|3).

a) Zeige, dass die Fußpunkte der Pfosten ein Quadrat bilden!

b) Welche Länge d hat die Stange, welchen Winkel ρ bildet sie mit der x1/x2- Ebene?

c) Die Plane soll durch zwei ebene Glasplatten ersetzt werden, die V-förmige Dachform aber erhalten bleiben. Warum ist das mit den bisher verwendeten (sechs!) Befestigungspunkten nicht möglich?

d) Um die Forderung laut c) zu erfüllen, muss der Architekt die Pfosten P1 und P2 erhöhen. Um welchen Betrag?

e) Welchen Winkel δ bilden die beiden Dachteile nun miteinander?

Mein Lösungsansatz:

a) P1, P2, P3 und P4 (nur x/y Werte) in ein Koordinatensystem eintragen. Könnte dies funktionieren?

b) Der Abstand der Punkte Z1 und Z2? Ist das so richtig? Wenn ja, wie genau berechne ich den?

c) Weil diese vielleicht windschief sind??? Muss ich hier was berechnen?

d) und e) verstehe ich nicht..

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c) Weil diese vielleicht windschief sind??? Muss ich hier was berechnen?
d) und e) verstehe ich nicht..

Würde Dir eine räumliche Darstellung helfen?

blob.png

dann klicke mal auf das Bild und rotiere die Szene.

Vielleicht zu c) kann sie mir helfen. Die eine Seite ist windschief, oder sehe ich das falsch?

Die eine Seite ist windschief, oder sehe ich das falsch?

Das siehst Du richtig. Die Punkte \(Z_1\) und \(Z_2\) sowie die Stangenenden von \(P_1\) und \(P_4\) liegen nicht in einer Ebene.

Deshalb soll die Stange bei \(P_1\) so weit erhöht werden (\(\to P_1^*\)), dass das obere Ende der Stange bei \(P_1\) in der Ebene von \(Z_1Z_2P_4'\) liegt (die hellblaue Fläche).

Das ist der Aufgabenteil d)

Super!

Wie löse ich denn nun d)...

Wie löse ich denn nun d)...

schau Dir doch mal die Szene genau an. Welche Eigenschaft muss denn das Stangenende \(P_1^*\) haben? Das kann man aus der Szene raus lesen!

P1 müsste halt erhöht werden, aber um welchen Betrag weiß ich nicht und wüsste auch nicht wie man das tun soll. Vielleicht mit dem Parameter k verlängern/erhöhen?

P1 müsste halt erhöht werden, aber um welchen Betrag weiß ich nicht ..

Danach hab ich nicht gefragt. Ich habe auch nicht danach gefragt was Du tun sollst. Die Frage lautete vielmehr:

Welche Eigenschaften muss das Stangenende \(P_1^*\) haben, um eine ebene Glasscheibe dort montieren zu können? Guck Dir die Szene an!

Tipp: es sind zwei Eigenschaften. Und es gibt nur einen einzigen Punkt im Raum, der beide Eigenschaften erfüllt.

P1* muss sich an P1 anpassen damit ist eben wird. Und ich glaube es ist der Punkt Z1 oder Z2...

P1* muss sich an P1 anpassen damit ist eben wird. Und ich glaube es ist der Punkt Z1 oder Z2...

definiere "an P1 anpassen damit ist eben wird" ...

anbei noch ein Bild:

blob.png

warum sind die Punkte \(Q_1\)  und \(Q_2\) verkehrt? Welche Eigenschaft haben sie jeweils nicht? einfach hingucken und beschreiben, was Du siehst.

Entweder man setzt P1* direkt auf P1 damit es eben wird oder man erhöht P1 um einen Betrag damit es sich an P1* anpasst.


Q2 liegt zwischen den Punkten P4* und P1*, oder?

Q1 liegt auf P1*.


Ich weiß nicht was du genau meinst.

... oder man erhöht P1 um einen Betrag damit es sich an P1* anpasst.

\(P_1^*\) ist doch gesucht und nicht gegeben. Wir suchen die Position von \(P_1^*\), weil wir ja noch nicht wissen, wo der ist. Also kann man auch nichts daran 'anpassen'.

Ich weiß nicht was du genau meinst

Ich meine Eigeschaften von Punkten. Punkte können auf Ebenen und/oder Geraden liegen oder eben nicht.

Gibt es Ebenen oder Geraden auf denen der Punkt \(P_1^*\) liegen muss, damit es passt?

Q2 liegt zwischen den Punkten P4* und P1*, oder?

Ja - und warum kann man \(Q_2\) dann nicht als neues Stangenende von \(P_1\) verwenden?

@vxnilla: btw.: jetzt verstehe ich auch Dein Problem besser. Es ist wirklich völlig sinnlos, wenn Du versuchst, irgendwelche Formeln zu lernen. Du musst vielmehr lernen Dir diese Fragen zu stellen (s.o.) und zu beantworten.

d) Um die Forderung laut c) zu erfüllen, muss der Architekt die Pfosten P1 und P2 erhöhen. Um welchen Betrag?

In der Aufgabe steht aber, dass die Pfosten P1 und P2 erhöht werden müssen. Aber die Ebene ist windschief. Die Punkte aber alle liegen nicht mal auf der Ebene. Darum kann man Q2 auch nicht als neue Stangenende von P1 verwenden



Und für mich ist es halt schwierig solche Fragen zu beantworten..

In der Aufgabe steht aber, dass die Pfosten P1 und P2 erhöht werden müssen.

Ja natürlich. Und das neue (noch gesuchte!) Stangenende habe ich mit \(P_1^*\) bezeichnet. Und das muss man raus kriegen, wo das ist. Damit man das raus kriegt, gilt es, Eigenschaften dieses Punktes \(P_1^*\) zu finden, damit man ihn bestimmen kann.

Die Punkte aber alle liegen nicht mal auf der Ebene. Darum kann man Q2 auch nicht als neue Stangenende von P1 verwenden

Die neue geplante Glasfläche ist das von mir hellblau dargestellte Viereck. \(Q_2\) liegt doch auf dieser Glasfläche! Warum kann man das neue Stangenende nicht nach \(Q_2\) legen?

Klick auf das letzte Bild und rotiere die Szene, dann siehst Du, dass \(Q_2\) auf der gewünschten Glasfläche liegt.

Aso, dann liegt Q2 auf der Ebene. Also, muss man den Abstand zwischen P1* und Q2 berechnen oder P1 und Q2?

Also, muss man den Abstand zwischen P1* und Q2 berechnen ...

\(P_1^*\) ist doch gar nicht bekannt! Ich glaub' das hatte ich oben schon mal erwähnt. Solange der Punkt \(P_1^*\) nicht bekannt ist, kannst Du auch keinen Abstand dahin berechnen.

... oder P1 und Q2?

dann sähe die Konstruktion mit dem Glasdach so aus:

blob.png
Findest Du das richtig ??

Auf welcher Ebene muss \(P_1^*\) liegen?
Und auf welcher Geraden muss \(P_1^*\) liegen?

P1* muss auf der Gerade P1 und P2 sowie zwischen P1 und Z1 liegen. Ist das so richtig?

P1* muss auf der Gerade P1 und P2 sowie zwischen P1 und Z1 liegen. Ist das so richtig?

blob.png

Die Gerade durch \(P_1\) und \(P_2\) ist die lilane und die Gerade durch \(P_1\) und \(Z_1\) ist die gelbe. Der einzige Punkt, der auf beiden Geraden liegt ist \(P_1\).

Auf welcher Ebene muss \(P_1^*\) liegen?

Und auf welcher Geraden muss \(P_1^*\) liegen?

P1* muss auf der grünen Gerade liegen?

Und auf der Ebene Z1,Z2,P1 und P2



Ich habe den Durchblick verloren.. :/

Und auf der Ebene Z1,Z2,P1 und P2

Die vier Punkte liegen auf keiner gemeinsamen Ebene

P1* muss auf der grünen Gerade liegen?

Du meinst die gelbgrüne - ist aber auf dem Bild nicht so - oder? hast Du wirklich Dir die Szenen im Geoknecht3D angeschaut? Du kannst auf jedes Bild klicken und es wenden und drehen! Oder hast Du nur ein Handy zur Verfügung?

Ich habe den Durchblick verloren.. :/

Ok - was hältst Du den von der senkrechten blauen Gerade in der Verlängerung der Stange?

blob.png

Die vier Punkte liegen auf keiner gemeinsamen Ebene

Ich meinte P1,P4,Z2 und Z1, sorry!

Ok - was hältst Du den von der senkrechten blauen Gerade in der Verlängerung der Stange?

Sollte es eigentlich nicht so sein? Die Aufgabe fordert ja auch eine Erhöhung/Verlängerung. Ich finde es sieht leichter aus um zu verstehen

Ich meinte P1,P4,Z2 und Z1, sorry!

... auch diese vier Punkte liegen auf keiner gemeinsamen Ebene :-/

Und wenn wir die Stangenende mal mit \(P_1'\) bis \(P_4'\) bezeichnen (wir hatten die ja noch nicht benannt), dann liegen auch die Punkte \(P_1', \, P_4', Z_2\) und \(Z_1\) in keiner gemeinsamen Ebene. Das ist ja genau das Problem, welches im Teil d) zu lösen ist. Eine ebene Glasscheibe kann man in diesen vier Punkten nicht fixieren!

Die Aufgabe fordert ja auch eine Erhöhung/Verlängerung.

Ja klar .. was siehst Du denn da ?

blob.png

auf welcher Geraden muss \(P_1^*\) - also das neue Stangenende - liegen?

P1‘? Das meinte ich eigentlich die ganze Zeit, dass P1* auf P1‘ liegen muss. ._.

P1‘? Das meinte ich eigentlich die ganze Zeit, dass P1* auf P1‘ liegen muss. ._.

\(P_1'\) ist ein Punkt - keine Gerade! \(P_1'\) ist das obere Stangeende der Stange \(1\) bei der Konstruktion mit der Plane. Die Stange \(1 \) muss aber verlängert werden, damit sie die geplante Glasscheibe abstützen kann. Das neue Stangenende sei \(P_1^*\) - da ist auch ein Punkt.

auf welcher Geraden muss der Punkt \(P_1^*\) - also das neue Stangenende - liegen?

Muss sie auf der pinken oder blauen liegen?

Muss sie auf der pinken oder blauen liegen?

'er' (der Punkt) nicht 'sie'. Der Punkt \(P_1^*\) muss auf der Geraden liegt, die 'durch die Stange' verläuft, also die Gerade durch die beiden Punkte \(P_1\) und \(P_1'\).

Damit wäre eine von zwei Eigenschaften des Punktes \(P_1^*\) gefunden. :-)

2.) Auf welcher Ebene muss \(P_1^*\) liegen?

Es existiert keine Ebene.

Es existiert keine Ebene.

... und was ist mit dem Glasdach. Glasscheiben sind i.A. ziemlich eben!

Du hast Dir noch keine der Szenen im Geoknecht3D angeschaut - oder?

Die Stange 1 soll doch verlängert werden (bis zum Punkt\(P_1^*\)), um das (ebene!) Glasdach zu stützen. Die Ebene für das Glasdach ist durch die Punkte \(Z_1\), \(Z_2\) und \(P_4'\) vorgegeben. \(P_4'\) ist das obere Ende der Stange 4,; diese soll unverändert bleiben.

Auf welcher Ebene muss \(P_1^*\) liegen?

Ich nutze Chrome und Safari, habe aber auch keinen PC.


Es gibt doch nur eine Ebene oder nicht??? Wahrscheinlich dann die. Ich weiß gar nicht was ich darauf antworten soll...Vielleicht bei Z1??

Es gibt doch nur eine Ebene oder nicht??? Wahrscheinlich dann die. Ich weiß gar nicht was ich darauf antworten soll...Vielleicht bei Z1??

Ja es ist die Ebene, die durch das Glasdach vorgegen ist. Und das Glasdach ist durch die Punkte \(Z_1\), \(Z_2\) und \(P_4'\) festgelegt.

Die Antwort auf die Frage ...

Auf welcher Ebene muss \(P_1^*\) liegen?

... ist: \(P_1^*\) muss in der Ebene liegen, die durch \(Z_1\), \(Z_2\) und \(P_4'\) festgelegt ist - also in der Ebene des Glasdachs. Überrascht Dich diese Antwort?

Damit hat man zwei Eigenschaften des gesuchten Punktes \(P_1^*\)

1.) \(P_1^*\) liegt auf der Geraden durch \(P_1\) und \(P_1'\)

2.) \(P_1^*\) liegt in der Ebene, die durch die drei Punkte \(Z_1\), \(Z_2\) und \(P_4'\) festgelegt ist.

Wie findet man nun mit dem Hinweis auf diese beiden Eigenschaften den Punkt \(P_1^*\)?

Ich weiß es leider nicht..:/

Wow - Du hast wirklich ein Problem! Wenn Du einen Punkt suchst, der sich gleichzeitig auf einer Gerade und einer Ebene befinden muss, so kommt doch dafür nur der Schnittpunkt von Gerade und Ebene in Frage. Der Schnittpunkt befindet sich auf der Geraden UND auf der Ebene. Und es ist (so er existiert und eindeutig ist) auch der einzige Punkt mit dieser Eigenschaft.

Fangen wir mit der Geraden an:

Kannst Du die Parameterform der (senkrechten!) Gerade durch \(P_1\) aufstellen?

P1 beträgt \( \begin{pmatrix} 3\\5\\0 \end{pmatrix} \)

Also,


g : x = \( \begin{pmatrix} 3\\5\\0 \end{pmatrix} \) * k ??

\(P_1\) stimmt, der Rest ist falsch ... ich muss jetzt leider Schluß machen. Vielleicht hilft jemand anders weiter.

Voraussetzung wäre jetzt, Dir zu erklären was 'Parameterform' bedeutet.

Ok, vielen Dank.

1 Antwort

0 Daumen

a) P1, P2, P3 und P4 (nur x/y Werte) in ein Koordinatensystem eintragen. Könnte dies funktionieren?

https://www.matheretter.de/rechner/geozeichner?draw=polygon(3%7C5%20-5%7C3%20-3%7C-5%205%7C-3)&scale=10

Die Frage wäre ob der Lehrer das so anerkennt. Eventuell Rechnerisch zeigen dass alle Seiten gleich lang sind und das man einen rechten Winkel hat.

Avatar von 477 k 🚀

Super. Dann zeichne ich die Punkte in ein Koordinatensystem. :)


Könntest du versuchen mir bei den anderen Aufgaben auch zu helfen?

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