Berechne die folgende Determinante mit Hilfe von Faktorisation.

Question

Aufgabe:

Berechne die folgende Determinante mit Hilfe von Faktorisation und den Eigenschaften.

\( \begin{pmatrix} 1 & a & ab^2c^2 \\ 1 & b & bc^2a^2  \\ 1 & c & ca^2b^2 \end{pmatrix} \)

Problem/Ansatz:

Wir sollen hier mit Faktorisation vorgehen. Deswegen klammere ich abc aus und erhalte:

abc * \( \begin{pmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \end{pmatrix} \)

Was muss ich jetzt tun bzw. was fällt euch auf, welche Eigenschaft könnte ich anwenden?

Answer 1

Aloha :)

Wenn alle Elemente einer Reihe denselben Faktor haben, kann man diesen Faktor vor die Determinante ziehen:

$$\left|\begin{array}{rrr}1 & a & ab^2c^2\\1 & b & a^2bc^2\\1 & c & a^2b^2c\end{array}\right|=\left|\begin{array}{rrr}1 & a & abc\cdot bc\\1 & b & abc\cdot ac\\1 & c & abc\cdot ab\end{array}\right|=abc\left|\begin{array}{rrr}1 & a & bc\\1 & b &  ac\\1 & c & ab\end{array}\right|$$

Nun subtrahieren wir die erste Zeile von der zweiten und der dritten Zeile. Dadurch entstehen zwei Nullen in der ersten Spalte und wir können die Determinante sofort hinschreiben:$$=abc\left|\begin{array}{rrr}1 & a & bc\\0 & b-a &  ac-bc\\0 & c-a & ab-bc\end{array}\right|=abc\left[(b-a)(ab-bc)-(c-a)(ac-bc)\right]$$$$=abc\left[b(b-a)(a-c)-c(c-a)(a-b)\right]$$$$=abc\left[b(b-a)(a-c)-c(a-c)(b-a)\right]$$$$=abc(b-c)(b-a)(a-c)$$

Comments

Vielen lieben Dank!!! Da war mein Ansatz ja gar nicht so schlecht :D

Answer 2

Jetzt vielleicht nach der 1. Spalte entwickeln und dann kann man

bei den Unterdeterminanten wieder Faktoren rausziehen.

Comments

Versteh ich nicht so ganz.

Könnte ich auch so vorgehen?

R₃ ← R₂ - R₁

Dann hätte ich:

\( \begin{pmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 0 & a-b & bc-ab \end{pmatrix} \)

und jetzt vielleicht noch R₁ ← R₁ - R₂

\( \begin{pmatrix} 0 & a-b & bc-ac \\ 1 & b & ca \\ 0 & a-b & bc-ab \end{pmatrix} \) 

Bringt mich das weiter?