Vektoren - Geradengleichungen aufstellen & anpassen

Question

Aufgabe:

Ich würde gerne um Ihre Hilfe bitten - könnten Sie mir bitte folgende Aufgabe erklären bzw. zeigen, wie ich vorzugehen habe?

"Geben Sie eine Gleichung für eine Gerade h an, die die Gerade g schneidet, eine Gerade i, die zur Geraden g parallel ist, und eine Gerade j, die zur Geraden g windschief ist."

g: x = (2;3;6) + t * (1;0;5)

Meine Versuche wären folgende:

parallel - i: x = (7;7;7) + t * (1;0;5) (Richtungsvektoren müssen linear abhängig sein; Stützvektoren unterschiedlich)

schneidend - h:x = (2;3;6) + t * (5;0;1) (Richtungsvektoren dürfen nicht linear abhängig voneinander sein; Stützvektoren sind gleich)

windschief - k.A.

Vielen Dank!

Answer 1

Hallo :-)

Deine Lösungen stimmen alle. Damit die Gerade $j$ windschief zur Geraden $g$ ist, müssen zwei Eigenschaften erfüllt sein:

1.) Beide Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Wähle für $j$ zb diesen Richtungsvektor:

$\vec{r}=\begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$

2.) Beide Geraden schneiden sich nicht. Dafür musst du einen passenden Stützvektor wählen. Ich nenne ihn mal

$\vec{r_0}=\begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix}$.

Also hast du die Gerade

$j:\ \vec{x}=\vec{r_0}=\begin{pmatrix}a\\b\\c \end{pmatrix}+s\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$.

Nun betrachtest du das lineare Gleichungssystem $j=g$. Beim Lösen schaust du, welche Zahlen du für $a,b,c$ einsetzen kannst, damit dieses System nicht lösbar ist, weil ja somit $j$ und $g$ keine gemeinsamen Punkte haben.